Deuxième année

RDM 2ème année : Applications et exercices

Application de la chapitre II – Notion de contrainte

Détermination des efforts normale (N), tranchant (T) et du moment fléchissant (Mf)

Voici une poutre reposant sur deux appuis A et B, subissant des forces extérieures F1, F2 et F’2 comme la représente la figure ci-dessous. La force F1 provoque sur les appuis A  et B des forces résistants : RA et RB.

Figure n°01 : Poutre en traction et flexion sur deux appuis.

Question :                                                                                                                                              

1-      Déterminer les équations d’équilibre suivant les 2 axes

2-      Déterminer l’effort normal (N) et l’effort  tranchant (T) puis le moment fléchissant (Mf)

Réponse

Représentation des forces existantes :

Figure n°02 : Représentation de toutes les forces appliquées sur la poutre.

1-    Détermination des équations d’équilibre suivant les 2 axes

Pour les déterminées, on utilise la condition d’équilibre du système :

a-    Déterminons les forces suivant « x »

Suivant le sens positif: F’2 = - F2

b-    Déterminons les forces suivant « y »

Suivant le sens positif : RA – F1 + RB = 0 → RA + RB = F1

c-    Déterminons les forces suivant « z » ou les moments

*formule des moments :


 

2-    Déterminé les efforts normale (N) et tranchant (T) puis le moment fléchissant (Mf)

Tout d’abord, il faut diviser la poutre en fonction des forces, la division doit se faire entre 2 forces et on note x1, x2, x3 et ainsi de suite les distances de chaque division. On note I, II, III, IV les nombre de division.

Figure n°03 : La poutre divisée en plusieurs sections.

a.    Dans la section I : 0 ≤ x1l1

La coupe de la section I est comprise entre la distance des forces  et , et ce la veut dire que nous n’étudions que les forces à l’intérieur de la distance x1.

 

a-    Efforts normale N (toutes les forces portées par l’axe x)

D’où

N = - F2 (F2 négatif car son sens est opposé à celle de x+)

 

b-    Effort tranchant T (toutes les forces portées par l’axe y)

(Suivant l’axe y, F2 est nul)

D’où T = 0

 

Remarque : il n’y a que l’effort tranchant qui provoque le moment fléchissant car l’effort normal ou la traction ne peut pas fléchir une poutre.

c-    Moment fléchissant Mf

(Comme dans T ; suivant l’axe y, F2 est nul)

D’où Mf = 0

Tableau n°01 : Étude des efforts et moment fléchissant dans la section I

 

b.    Dans la section II : l1 ≤ x2l2

La coupe de x2 est comprise entre la distance des forces , et ce la veut dire que nous n’étudions que les forces à l’intérieur de la distance x2.

 

 

a-    Efforts normale N

(toutes les forces portées par l’axe x)

(Suivant l’axe x, RA est nul)

N = - F2 + 0

D’où

N = - F2

 

b-    Effort tranchant T

(toutes les forces portées par l’axe y)

(Suivant l’axe y, F2 est nul)

T = RA + 0

D’où

T = RA

 

c-    Moment fléchissant Mf

Mf = 0 + (RA × x2)

(Suivant l’axe y, F2 est nul)

Donc

Mf = RA(x2 - l1)

-          Si x2 = l1

Mf = RA (l1 - l1)

Mf = 0

-          Si x2 = l2

Mf = RA (l2 - l1)

Tableau n°02 : Etude des efforts et moment fléchissant dans la section II

 

c.    Dans la section III : l2 ≤ x3l3

La coupe de x3 est comprise entre la distance des forces , et ce la veut dire que nous n’étudions que les forces à l’intérieur de la distance x3.

a-    Efforts normale N

(toutes les forces portées par l’axe x)

(Suivant l’axe x, F1 et RA sont nul)

N = - F2 + 0 + 0

D’où

N = - F2

 

b-    Effort tranchant T

(toutes les forces portées par l’axe y)

T = RA - F1 + 0

(Suivant l’axe y, F2 est nul)

Donc

T = RA - F1

(comme RA + RB = F1, RA - F1 = - RB)

D’où

T = - RB

 

c-    Moment fléchissant Mf

             Mf = 0 + [RA × (x3 - l1)] + [- F1 × (x3 – l2)]

         (Suivant l’axe y, F2 est nul)

             Donc

     Mf = RA(x3 - l1) - F1(x3 – l2)

-          Si x3 = l2

Mf = RA (l2 - l1) - F1 (l2 – l2)

Mf = RA (l2 - l1)

-          Si x3 = l3

Mf = RA (l3 - l1) - F1(x3 – l2)

(théoriquement Mf = 0 car RB est le dernier effort tranchant provoquant le moment fléchissant)

D’où : Mf = 0

Tableau n°03 : Etude des efforts et moment fléchissant dans la section III

d.    Dans la section IV : l3 ≤ x3l0

la coupe de x4 est comprise entre la distance des forces , et ce la veut dire que nous n’étudions que les forces à l’intérieur de la distance x4.

 

 

 

a-    Efforts normale N

(toutes les forces portées par l’axe x)

(Suivant l’axe x, F1, RA et RB sont nul)

N = - F2 + 0 + 0 + 0

D’où

 N = - F2

 

b-    Effort tranchant T

(toutes les forces portées par l’axe y)

T = RA – F1 + RB + 0

(Suivant l’axe y, F2 est nul)

Donc

T = RA + RB - F1 = 0

D’où

T = 0

 

c-    Moment fléchissant Mf

            Mf = 0 + [RA × (x4 - l1)] + [- F1 × (x4 – l2)] + [RB × (x4 – l3)]

        (suivant l’axe y, F2 est nul)

            Donc

            Mf = RA (x4 - l1) - F1 (x4 – l2) + RB (x4- l3)

-          Si x4 = l3

Mf = RA (l3 - l1) - F1 (l3 – l2) + RB (l3- l3)

Mf = 0

-          Si x4 = l0

Mf = RA (l0 - l1) - F1 (l0 – l2) + RB (l0 - l3)

            D’où Mf = 0

 

Tableau n°04 : Étude des efforts et moment fléchissant dans la section IV

e.    Diagramme de N

Figure n°04 : Diagramme des efforts normale et tangentiel et du moment fléchissant

 

Last modified: Thursday, 3 December 2015, 7:16 AM
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