Mathématiques

MT D 2009

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2009

 

MATHEMATIQUES    –  Série : D

 

N.B. :        - Les deux Exercices et le Problème sont obligatoires.

                 - Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

 

EXERCICE 1            (5 points)                                                                                          corrigé

Le plan complexe (P ) est muni d’un repère orthonormé  (O ;  ; ) d’unité : 1 cm

1)     P est le polynôme de la variable complexe z défini par :

P(z) = z3 – (6+2i)z2 + (10+8i)z – 4 – 8i.

a)     Calculer P(2).                                                                                                         (0,25pt)

b)     Résoudre dans C, l’équation P(z) = 0.                                                               (1pt)

2)     On donne les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1 + i ; b = 2 ; c = 3 + i et d.

a) Calculer d pour que ABCD soit un carré.                                                             (0,75 pt)

b) On considère la similitude plane directe S définie par son expression complexe : z’ = (1 + i) z + 4i

- Donner les éléments caractéristiques de S.                                                          (1 pt)

- Déterminer l’expression analytique de S.                                                               (1 pt)

3)     Construire dans le même repère ABCD et A’B’C’D’ son image par S.                     (1 pt)

 

EXERCICE 2            (5 points)                                                                        corrigé

1) Les faces d’un dé cubique D1 truqué sont numérotées : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3.

On lance une fois ce dé. Chaque face a la même probabilité d’apparition.

On note Pi la probabilité d’apparition de la face portant le numéro i.

Calculer P1, P2 et P3.                                                                                                        (0,25 + 0,25 + 0,25)

2) Les faces d’un deuxième dé cubique normal D2 sont numérotées de 1 à 6.

On lance en même temps les deux dés D1 et D2.

Chaque face a toujours la même probabilité d’apparition.

a) Calculer la probabilité de l’événement :

A : « les deux dés affichent le même numéro »                                                        (0,5 pt)

b) On désigne par X la variable aléatoire définie par la somme des numéros affichés par les deux dés.

- Donner la loi de probabilité de X                                                                             (1 pt)

- Calculer l’espérance mathématique E(X).                                                              (1 pt)

3) On lance trois fois de suite et d’une façon indépendante le dé D1.

On note Y la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la face portant le numéro 2 lors de ces trois lancers.

a) Donner la loi de probabilité de Y.                                                                          (1 pt)

b) Calculer la variance V(Y).                                                                                       (0,75 pt)

 

NB : Tous les résultats seront exprimés sous forme de fraction irréductible.

 

 


PROBLEME             (10 points)                                                                            corrigé

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité : 1cm.

1) Justifier que l’ensemble de définition de f est [0 ; [.                                                  (0,5 pt)

2)   a) Prouver que f est continue en x0 = 0.                                                                           (0,75 pt)

   b) Etudier la dérivabilité de f en xo = 0.                                                                            (0,5 pt)

3)   a) Démontrer que pour tout x > 0 ; f’(x) = (lnx - 1)(lnx + 1) où f’ désigne la fonction dérivée première de f.                                                                                                                           (0,5 pt)

            b) Après avoir précisé le sens de variations de f, dresser son tableau de variations.          (0,5 + 0,5)

4) Tracer  la courbe (C).                                                                                                          (2 pts)

5) Soit  un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; e[.

            a) Calculer, à l’aide de deux intégrations par parties l’intégrale

                                                                            (1,5 pts)

            b) Soit A () l’aire du domaine plan délimité par l’axe (O , ), les droites d’équations x =  et x = e et la courbe (C).

                  Calculer  en cm2 A () et A ().                                                             (0,25 + 0,25)

6) Soit g la restriction de f à l’intervalle [e ; [.

            a) Démontrer que g admet une application réciproque notée g-1 dont on précisera l’ensemble de définition.                                                                                                   (1 pt)

            b) Calculer g(e2) et (g-1)’(e2)                                                                                             (0,25 + 0,5)

7) Tracer dans le même repère que (C) la courbe représentative  de g-1                  (1 pt)

 

            On donne e ≈ 2,7 ; e-1≈0,36 ; e2≈7,4


Last modified: Friday, 29 January 2016, 11:49 AM
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