Mathématiques

MT D 2007

 

MATHEMATIQUES - Série D – SESSION 2007

 

 

NB : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le PROBLEME.

- Machine à calculer autorisée.

 

EXERCICE I (5 points)

 

Soit le Polynôme P à variable complexe z défini par : P(z) = z3 + (1 + i)z2 + (4 – i)z – 6i + 12.

1-      a-Calculer P(– 3i).(0,50 pt)

b-Montrer que l’équation P(z) = 0 admet une solution réelle a que l’on déterminera.(0,50 pt)

c-Déterminer le nombre complexe b tel que P(z) peut s’écrire sous la forme :

P(z) = ( z + 3i ) ( z + 2 ) ( z + b ).(0,50 pt)

d-Résoudre dans C l’équation P(z) = 0(0,75 pt)

2-      Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormé (O ;), on considère les points A, B, C d’affixes respectives zA = – 3i ; zB = – 2  et zC = 1 + 2i.

Déterminer la mesure de l’angle et puis en déduire

la nature du triangle ABC.(0,25+0,25)

3-      Soit r la rotation de centre B et d’angle .(0,25 pt)

Ecrire l’expression complexe de la rotation r.(0,50 pt)

4-      On considère la transformation S du plan (P ) dans (P ) qui à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z tel que  S : z = 2iz – 2 + 4i.

a-         Donner la nature et les éléments caractéristiques de S.(0,25+0,75)

b-         Donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation h telle que r o h = S.(0,50 pt)

 

EXERCICE II (5 points)

 

Un sac contient six jetons, portant les lettres A, B, C et D dont la répartition suivant les couleurs est donnée par le tableau ci-dessous :

 

     Lettres

 

 Couleurs

 

A

 

B

 

C

 

D

Rouges

0

1

1

0

Jaunes

1

0

0

1

Noires

1

1

0

0


Chaque jeton a la même probabilité d’être tiré.

I-On tire au hasard et successivement sans remise trois jetons du sac.

1)       Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

E : ‘‘obtenir exactement un jeton rouge’’.(0,50 pt)

F : ‘‘obtenir dans l’ordre, les lettres B, A, C ’’.(0,50 pt)

2)       Soit X la variable aléatoire associée au rang de la première consonne sortie.

a)         Déterminer l’univers–image de X.(0,50 pt) 

b)        Etablir la loi de probabilité de X et calculer l’espérance mathématique E(X) de X.(1+0,25)

 

II-Une épreuve (E) consiste à tirer simultanément trois jetons du sac.

1)       Calculer la probabilité de l’évènement : G : ‘‘obtenir les lettres du mot B A C ’’.(0,50 pt)

2)       On répète trois fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve (E).

A chaque épreuve, on marque 1 point si l’événement G est réalisé, sinon on marque 0 point.

Soit Y la variable aléatoire égale au total des points obtenus à l’issue des trois épreuves.

a)      Préciser l’univers–image de Y et déterminer la loi de probabilité de Y.(0,50+0,75)

b)      Calculer l’espérance mathématique E(Y) de Y puis la variance V(Y) de Y.(0,25+0,25)

 

PROBLEME (10 points)

 

On considère la fonction numérique f définie sur IR par : f(x) = (x2 + 1) e–x + x.

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O, ) d’unité 1cm.

I –Soit g la fonction numérique définie sur IR par : g(x) = 1 – (x – 1)2e–x

a)         Calculer .(0,25 pt)

b)        Montrer que = 1 en admettant que = +¥, nÎ IN.(0,25 pt)

c)         Calculer la dérivée g(x) de g pour tout x Î IR.(0,50 pt)

d)        Dresser le tableau de variation de g.(1,00 pt)

e)        Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x) pour tout x Î IR.(0,25+0,50)

 

II–1-a)Montrer que = +¥ et = +¥.(0,50+0,50)

b)Montrer que pour tout x Î IR, f(x) = g(x) et dresser le tableau de variation de f.(0,50+1,00)

2-a)Montrer que le point A d’abscisse 1 est un point d’inflexion de (C ).(0,50 pt)

b)Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point A.(0,50 pt)

c)Montrer que la droite (Δ ) d’équation y = x est une asymptote oblique à (C )(0,50 pt)

d)Etudier la branche infinie de (C ) en - ¥ .(0,50 pt)

e)Tracer (T), (Δ ) et (C ).(0,25+0,25+1)

3-a)A l’aide d’une double intégration par parties, calculer l’intégrale : I =dx.(0,50 pt)

b)En déduire l’aire géométrique A, en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C ), la droite (Δ ) et les droites d’équations : x = 0 et x = 1.(0,75 pt)

On donne : ;


Last modified: Friday, 29 January 2016, 12:02 PM
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