Mathématiques

MT D 2005

ATHEMATIQUES - Série D - SESSION  2005

 

N. B :              - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

- Machine à calculer autorisée.

 

EXERCICE 1             (5 points)                                                                                       corrigé

 

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O,).

On note A le point d’affixe i.                           

1°)  Résoudre dans C l’équation à une inconnue z suivante :.                     (1,00pt)

2°) A tout point M d’affixe z, avec z ≠ i, on associe le point M’ d’affixe z’ 

tel que : z’.

a/ Exprimer z’ – i en fonction de z.                                                                      (0,50pt)

b/ Montrer que (z’ – i ) ( z – i )  =  – 3 + 4i.                                                         (0,25pt)

c/ En déduire la valeur de |z’ – i|.|z – i|.                                                               (0,25pt)

d/ Déterminer l’ensemble (C) des points M tels que  |z – i| = .                                    (0,50pt)

e/ En utilisant les résultats précédents, montrer que si M appartient au cercle de centre A  et de rayon  alors M’ appartient à un cercle (C’) de centre A dont on déterminera le rayon.         (0,50pt)

3°) Soit S la similitude plane directe de centre A, de rapport   et d’angle de mesure .

a/ Ecrire l’expression complexe de S.                                                                    (1,00pt)

b/ Soit B le point d’affixe  1 + 3i  et  B’ = S(B). Déterminer l’affixe de B’.

Montrer que B’ appartient au cercle (C).                                                       (0,5+0,5pt)

 

 

EXERCICE 2             (5 points)                                                                                       corrigé         

 

On dispose de deux dés cubiques parfaits et identiques D1 et  D2.

Chaque dé comporte :- trois faces numérotées 1

- deux faces numérotées 2

- une face numérotée 5.

1°/ On lance une fois le dé D1 et on note le numéro apparu sur la face supérieure du dé.

 Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

 A : « Le numéro apparu est impair ».                                                           (0,50pt)

 B : « Le dé donne le numéro 1 ».                                                                          (0,50pt)

2°/ On lance simultanément les deux dés D1 et D2 et on note les numéros apparus sur les faces supérieures des deux dés. On dit qu’on a effectué ainsi ‘‘une épreuve’’.

a) Soit l’événement C : « La somme des numéros notés est égale à 4 ».

Montrer que la probabilité de l’événement  C :  P(C) = .                                              (0,50pt)

b) Calculer la probabilité de l’événement :

E : « Les deux dés donnent le même numéro ».                                                      (0,50pt)

c) Soit X la variable aléatoire réelle qui, à chaque éventualité, associe la somme des numéros apparus sur les faces supérieures des deux dés.

Préciser l’univers image de X puis déterminer la loi de probabilité de X.                  (0,25+1,0pt)

3°/ Une partie consiste à effectuer 4 épreuves successives d’une manière indépendante.

A chaque épreuve, on note les numéros obtenus. On fait une partie. Soit Y la variable aléatoire réelle égale au nombre de fois de réalisation de l’événement C lors d’une partie.

a) Préciser l’univers image de Y.                                                                            (0,25pt)

b) Calculer l’espérance E(Y) et la variance V(Y) de Y.                                        (0,50+0,50pt)

c) Calculer P(Y = 3).                                                                                           (0,50pt)

 

 

PROBLEME               (10 points)                                                                                                corrigé

 

Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle   par :

   .

On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O,)   (unité : 2cm).

1°) a/ Montrer que f est  continue en x0 = 0.                                                              (0,50pt)

b/ Montrer que               et  .                                       (0,50+0,50pt)

Que peut-on en conclure sur f  ?                                                                     (0,25pt)

2°) a / Calculer  et  .                                                                             (0,25+0,25pt)

b/ si  x c  ] –1,   0 [,  calculer  f(x) et étudier son signe.                                 (0,50+0,25pt)

c/ si  x c  ] 0, + º [,  calculer f(x) et étudier son signe.                                   (0,50+0,25pt)

d/ Dresser le tableau de variation de f.                                                                          (1,25pt)

3°) Montrer que la droite (D) d’équation y= x – 1 est asymptote à (C) au voisinage de.         (0,50pt)

4°) Tracer (C) et (D) dans un même repère (préciser les demi-tangentes à l’origine 0 du repère).                                                                                                                      (1+0,5+0,5pt)


5°) Soit  a un nombre réel tel que a > 1.

On note A(a) l’aire du domaine plan limité par (C), la droite (D) et les droites d’équations respectives  x = 1  et x = a.

a/ Exprimer ,  en cm2,  A(a) en fonction de a.                                                                (0,50pt)

b/ Calculer  .                                                                                         (0,25pt)

6°) Pour tout nÎIN, on pose  Un = [f(x) – (x – 1)] dx.

(En remarquant que si nÎIN  et  xÎ[n, n+1]  on a : f(x) = x – 1 + e–x ).

a/ Exprimer Un en fonction de n.                                                                         (0,50pt)

b/ Montrer que (Un)nÎIN est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.                                                                                                                 (0,50pt)

7°) Soit g la restriction de f à l’intervalle  I =

[0, + ¥[.

a/ Montrer que  g admet une fonction réciproque g–1.                                                       (0,25pt)

b/ Représenter graphiquement g–1  dans le même repère que (C).                             (0,50pt)

Last modified: Friday, 29 January 2016, 12:12 PM
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