Mathématiques

MT D 2004

MATHEMATIQUES - Série D - SESSION  2004

 

N.B. :     - Les DEUX exercices et le PROBLEME sont obligatoires.
- Machine à calculer autorisée.

 

EXERCICE 1          (5 points)                                                                                         corrigé

 

 

1°) Résoudre dans  C  l’équation  d’inconnue Z .                                                                        (1pt)

Z 2 – ( 4 + 5  i ) Z  –  1  +  7 i = 0.

2°) Le plan complexe (P ) est muni d’un repère orthonormé (O,) (unité 1cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives : Z A =1+i ;  Z B =3+4i  et  Z C= 4 –i.

a/ Déterminer l’expression complexe associée à la similitude plane directe S   telle que :

S(A) = B           et  S(B) = C.                                                                                       (1pt)

b/ Préciser les éléments caractéristiques de S.                                                                 (0,75pt)

3°) On note par  I  le milieu du segment [ B C ].

a/ Calculer l’affixe  ZI  de I.                                                                                             (0,25pt)

b/ Placer les points  A ,  B ,  C et   I   dans le plan complexe  (P )                                     (0,5pt)

c/ Déterminer et construire l’ensemble (  ) des points M d’affixe Z vérifiant :  . (1pt)

d/ Déterminer et construire l’ensemble (  )  image de (  ) par S.                                               (0,5pt)

 

 

EXERCICE 2            (5 points)                                                                                                    corrigé

 

 

Une urne U1  contient six boules : une boule numérotée 0,  deux boules numérotées 1 et trois boules numérotées    2.

Une autre urne  U2  contient cinq boules : deux boules numérotées 0, une boule numérotée 1 et deux boules numérotées  2.

Les  boules sont indiscernables au toucher.

 

1°) On tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne U1.

 Calculer les probabilités des événements suivants :

 

A: << La somme des numéros notés est égale à 4>>                                                     (0,5pt)

 

B: << Parmi les trois boules tirées, deux boules exactement sont numérotées par 2>>     (0,5pt)

 

C: << Le produit des numéros notés sur les trois boules tirées, est différent de 0 >>       (0,5pt)

 

D: << Les trois boules obtenues portent le même numéro >>                                          (0,5pt)

    

2°) On remet l’urne U1 à sa condition initiale. On tire une boule de l’urne U1 , puis on tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne U2. On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque éventualité, associe le produit des numéros notés sur les trois boules obtenues.

a/ Vérifier que l’univers image de X  est égal à l’ensemble { 0 , 2, 4, 8 }.                                  (0,5pt)

b/ Montrer que   P (X = 0)  =           et           P (X > 4)   =  .                                          (0,25+0,5pt)

c/ Calculer la probabilité de l’événement : (X = 2).                                                                  (0,25pt)

d/ Compléter le tableau des valeurs ci-dessous :                                                       (0,25+0,25pt)

 

k

0

2

4

8

P (X= k)

 

 

 


e/ Montrer que E(X) = ,    E(X) étant l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.   (0,25pt)

f/  Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition F de X.

 On utilisera pour la représentation graphique de F un repère orthogonal   (O,)

 (On prendra comme unités : 1cm sur l’axe des abscisses et  6cm sur l’axe des ordonnées)  (0,25+0,5pt)

 

(N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible).

 

 

PROBLEME  (10 points)                                                                                                    corrigé

Soit la fonction numérique  f  définie sur l’intervalle ] 0, +[  par  : 

On note par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé              (O,)   (unité : 2cm).

1°) On donne la fonction numérique  g  définie sur l’intervalle ] 0, + [  par :  

a/ Calculer   et  .                                                                                        (0,25+0,25)

b/ Pour tout x > 0, calculer g’(x) et étudier son signe.                                                            (1+0,5pt)

c/ Dresser le tableau de variation de g.                                                                                 (1pt)

d/ Montrer qu’il existe un et un seul nombre réel  α  vérifiant   g (α)  =  0    avec   <  α < 1    (1pt)

 

2°) a/ Pour tout   x > 0,  calculer  f (x).                                                                                     (0,5pt)

b/  Pour tout  x > 0, montrer l’égalité   f (x)  =            .                                                         (0,5pt)

c/ Calculer  f ().                                                                                                                (0,25pt)

d/ Calculer   et   .      (0,25+0,25)

  e/ Dresser le tableau de variation de la fonction  f.                                                                 (0,75pt)

 

3°) a/ Donner une équation de la tangente (T)  à  ( C ) au point d’abscisse 1.                               (0,5pt)

 

b/ Construire ( C ) et (T)  dans un même repère.                                                                    (1+0,5pt)

4°) On pose pour tout   x > 0,    h(x)  =

 Montrer  que  h  est une primitive de  f  sur l’intervalle   ] 0, + [.                                           (0,5pt)

5°) Soit    I  =    où  α  est le réel défini à la question  1°) d/

a/ Montrer que   I =  .                                                                                              (0,5pt)

b/ Interpréter géométriquement l’intégral  I.                                                                           (0,5pt)

 

 On donne  ln 2  ~  0,7        α   ~  0,6          f (α )  ~ 2,1       e   ~  2,7

 


Last modified: Friday, 29 January 2016, 12:29 PM
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