Mathématiques

MT D 2002

MATHEMATIQUES - Série D - SESSION  2002

 

N.B. : Les QUATRE exercices sont obligatoires

 

EXERCICE 1               ( 5 points )                                                                                         corrigé

 

Soit le polynôme P à variable complexe z défini par :   P(z) = z3 – (5 + i) z2 + (10 + 6i) z – 8 – 16i.

1°/ a) -  Montrer que l’équation P(z) = 0 admet une solution imaginaire pure i  où  est un réel

que l’on déterminera.                                                                                                                   ( 0,5 pt )

b) -  Mettre P(z) sous la forme (z - i ) (z2 + az + b) où  a  et  b  sont des nombres complexes que

l’on déterminera.                                                                                                                         ( 0,5 pt )

c) -  Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.                                                                                           ( 0,5 pt )

2°/        Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormé direct (O ; ), on considère les points

A, B, C d’affixes respectives zA = 3 + i ; zB = 2i ; zC = 2 – 2i.

a) – Placer les points A, B, C (On complètera cette figure au fur et à mesure des questions).                  ( 0,5 pt )

b) – On pose . Donner la forme trigonométrique de Z.                                                         ( 0,5 pt )

c) – En déduire la nature du triangle ABC.                                                                                           ( 0,5 pt )

d) – Calculer l’affixe du point E tel que ABEC soit un carré.                                                                ( 0,25 pt )

e) – Calculer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.                                               ( 0,25 pt )

3°/        Soit S la similitude plane directe transformant A en C et laissant invariant le point B.

a) – Déterminer l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques.                   ( 0,5 + 0,5 pt )

b) – Déterminer et construire l’image par S du quadrilatère ABED.                                                         ( 0,5 pt )

 

 

EXERCICE 2               ( 5 points )

 

Le tableau suivant indique, pour une même distance, les variations des quantités yi d’essence consommées de certaines voitures suivant leurs puissances xi (xi est exprimé en chevaux et yi en litres).

 

xi

3

4

5

5

6

7

8

10

yi

10

12

20

25

28

30

32

35


On donne : .

1°/ a) – Représenter le nuage de points Mi (xi, yi) associé à cette série statistique dans un repère orthogonal.  ( 1 pt )

* 1 cm sur l’axe des abscisses représente 1 cheval.

* 1 cm sur l’axe des ordonnées représente 5 litres.

b) – Calculer les coordonnées du point moyen G et placer ce point.                                                     ( 0,75 pt )

2°/ a) – Calculer le coefficient de corrélation linéaire associé à cette série statistique.                                  ( 1,5 pt )

b) – Interpréter ce résultat.                                                                                                               ( 0,25 pt )

3°/ a) – Par la méthode des moindres carrés, donner l’équation de la droite de régression (D) de y en x.

            Tracer cette droite.                                                                                                          ( 0,75 + 0,25 pt )

b) – Donner une estimation de la quantité d’essence consommée par une voiture de puissance de 12 chevaux.                                                                                                                                     ( 0,5 pt )

 

EXERCICE 3               ( 5 points )

 

Une urne contient dix jetons indiscernables au  toucher dont :

-          cinq jetons blancs numérotés : 2, 4, 6, 8, 10.

-          cinq jetons noirs numérotés   : 1, 3, 5, 7, 9.

L’épreuve E consiste à tirer au hasard et successivement trois jetons de l’urne sans remettre dans l’urne

le jeton qui a été tiré.

1°/ a) – Quel est le nombre de triplets que l’on peut obtenir ?                                                                     ( 0,5 pt )

b) – Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

       A : « Les jetons tirés sont de même couleur ».                                                                              ( 0,5 pt )

       B : « Les numéros des jetons tirés forment dans l’ordre une progression arithmétique de raison 2 ». ( 0,5 pt )

       C : « Les numéros des jetons tirés forment dans l’ordre une progression géométrique de raison 2 ». ( 0,5 pt )

2°/ Soit X la variable aléatoire qui à chaque épreuve, désigne le rang du premier jeton noir tiré. (On admet

que ce rang est 0 s’il n’y a aucun jeton noir tiré).

a) – Déterminer la loi de probabilité de X.                                                                                             (  1 pt  )

b) – Définir la fonction de répartition de X et la représenter graphiquement dans un repère orthogonal

 (O ; ). Unités : ||  || = 1 cm ; ||  ||= 9 cm.                                                                         ( 0,25 + 0,25 pt )

3°/ On répète 5 fois de suite et de manière indépendante l’épreuve E. A chaque épreuve, on marque 1 point

si l’on tire un jeton noir au premier coup sinon on marque 0 point.

Soit Y la variable aléatoire égale au total des points marqués à l’issue des 5 épreuves.

       a) – Déterminer la loi de probabilité de Y.                                                                                      ( 0,5 pt )

       b) – Calculer l’espérance mathématique et la variance de Y.                                               ( 0,25 + 0,25 pt )

       c) – Calculer la probabilité pour que l’on marque au moins 1 point à l’issue des 5 épreuves.              ( 0,5 pt )

 

EXERCICE 4               ( 5 points )

 

On considère la fonction numérique f définie par f (x) = (x + 1) ln |x|. On note (C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O ; ) d’unité 1 cm.

1°/ a) – Déterminer le domaine de définition Df de f.                                                                                ( 0,25 pt )

b) – Calculer les limites aux bornes de Df.                                                                                        ( 0,25 pt )

2°/        Soit .

a) – Etudier les variations de g (on ne demande pas la courbe représentative de g).                                ( 0,5 pt )

b) – Calculer g (– 1) et préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x.                                               ( 0,5 pt )

3°/ a) – Calculer f ’(x) et l’exprimer en fonction de g(x).                                                                              ( 0,5 pt )

b) – Dresser le tableau de variation de f.                                                                                             ( 0,5 pt )

4°/ a) – Montrer que le point I (1, 0) est un point d’inflexion pour la courbe (C  ).                                        ( 0,25 pt )

b) – Donner une équation de la tangente ( T ) à (C  ) au point  I.                                                         ( 0,25 pt )

c) – Etudier les branches infinies de (C  ).                                                                                          ( 0,25 pt )

d) – Construire ( T ) et  (C  ).                                                                                                   ( 0,25 + 0,5 pt )

5°/        Calculer, en cm2, l’aire  A du domaine plan limité par (C  ), l’axe (x’Ox) et les droites d’équations

x = 1 et x = e. (On pourra faire une intégration par parties).                                                             (  1 pt  )


Last modified: Monday, 1 February 2016, 7:59 AM
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