Mathématiques

MT D 2000

MATHEMATIQUES - Série D - SESSION 2000

 

Exercice 1 (5 points)(corrigé)

 

P est un plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ). On prendra 1 cm pour unité graphique.

1.a.Résoudre dans C l’équation : z ² – (6 – i) z + 11 – 3i = 0.(0,5 pt)

b.         Déterminer les nombres complexes z et z ’ tels que :

(0,5 pt)

Dans tout ce qui suit, on note par A, B, C et D les points d’affixes respectives a = 3 + i, b = 3 – 2i,
c = 6 – 2i et d = 6 + i.

2.a.Placer dans P les quatre points A, B, C et D.(0,5 pt)

b.Démontrer que le triangle (BAD) est isocèle et rectangle en A, et le triangle (BCD) est isocèle et rectangle en C.(0,75 pt)

c.En déduire que les quatre points A, B, C et D se trouvent sur un même cercle (G) dont on précisera le centre W et le rayon. Tracer (G) sur la figure précédente.(0,75 pt)

3.                  Soit S la similitude plane directe de centre A et qui transforme B en C.

a.Préciser les éléments caractéristiques de S.(1 pt)

b.Construire sur la figure précédente le transformé de ABCD par S.(1 pt)

 

 

Exercice 2(5 points)(corrigé)

 

N.B. :On exprimera les résultats sous forme décimale à 10–2 près.

Le tableau suivant indique les variations du chiffre d’affaires yi d’une entreprise selon les frais de publicité xi (xi et yi sont exprimés en millions de francs malagasy) de 1992 à 1999.

 

Années

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

xi

2

2,3

2,6

2,9

3,2

3,5

3,8

4,1

yi

52

59

60

65

70

72

73

75


On donne :

 ;  ;  ;  ;=1645,10.

1.a.Représenter le nuage de points Mi(xi , yi).

(Unité graphiques :

-             2 cm représente 1 million de francs malagasy sur l’axe des abscisses.

-            1 cm représente 10 millions de francs malagasy sur l’axe des ordonnées).(1 pt)

b.Calculer les coordonnées du point moyen G et placer ce point.(0,75 pt)

2.a.Montrer que le coefficient de corrélation linéaire associé à cette série statistique est : .(1,5 pt)

b.Interpréter ce résultat.(0,25 pt)

c.Par la méthode des moindres carrés, donner l’équation de la droite de régression de y en x et tracer cette droite.(0,75 pt)

3.a.Montrer que x1, x2, …, x8 constituent les 8 premiers termes d’une suite arithmétique (xn) dont on précisera la raison.(0,25 pt)

b.Donner une estimation du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002.(0,5 pt)

 

 

Exercice 3(5 points)(corrigé)

 

N.B. :–Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

-             On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

 

Une urne contient des boules indiscernables au toucher : rouges, vertes et noires.

1.                  On suppose qu’il y ait 12 boules dans l’urne dont : 3 rouges, 4 noires et 5 vertes. On tire au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a.Déterminer le nombre de tirages possibles.(0,5 pt)

b.         Déterminer les probabilités des événements suivants :

A : « Avoir 3 boules noires ».(0,5 pt)

B : « Avoir 3 boules de même couleur ».(0,5 pt)

C : « Avoir au moins deux boules noires ».(0,5 pt)

D : « Avoir au plus deux boules rouges ».(0,5 pt)

2.                  On suppose qu’il y ait 25% de boules rouges dans l’urne. On appelle « gain » l’obtention d’une boule rouge lors d’un tirage d’une boule de l’urne. L’expérience consiste à tirer au hasard et successivement 4 boules de l’urne en remettant dans l’urne chaque boule tirée avant de tirer une autre. Soit X la variable aléatoire qui à chaque expérience associe le nombre de gains.

a.Vérifier que l’univers image de X est {0, 1, 2, 3, 4}.(0,25 pt)

b.Montrer que la probabilité d’avoir 3 gains est égale à .(0,5 pt)

c.Déterminer la loi de probabilité de X.(1 pt)

d.Définir la fonction de répartition F de X.(0,5 pt)

e.Si n est le nombre de boules rouges, 3n – 7 le nombre de boules vertes et 2n – 1 le nombre de boules noires dans l’urne, calculer n.(0,25 pt)

 

 

Exercice 4(5 points)(corrigé)

On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ¥ [ par : .

On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; , ), d’unité 2 cm.

1.                  Soit h la fonction définie sur [ 0 ; + ¥ [ par : h (x) = (– x + 2) – 1.

a.Etudier les variations de h et dresser son tableau de variation. (On ne demande pas de tracer la courbe représentative de h).(0,5 pt)

b.Montrer que l’équation h (x) = 0 admet une solution unique a dans [ 0 ; + ¥ [. Vérifier que a est compris entre et 2.(0,5 pt)

c.En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de h (x).(0,5 pt)

2.a.Déterminer la limite de f en + ¥. Interpréter graphiquement ce résultat.(0,5 pt)

b.Etudier, suivant les valeurs de x, la position relative de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = 1. (On admet que – x > 0 sur [ 0 ; + ¥ [).(0,5 pt)

3.a.Montrer que pour tout x de [0 ; + ¥[ , .(0,5 pt)

b.Montrer que et donner le tableau de variation de f.(0,5 pt)

c.Tracer (D) et (C) dans un même repère. (On prendra a 1,84 et f (a) 1,20).(0,5 pt)

4.                  Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ¥ [ par : F (x) = l n ( – x).

a.Calculer F ’ (x).(0,5 pt)

b.On note par A(a) l’aire du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe (x ’Ox), les droites d’équations x = 0 et x = a. Utiliser l’égalité h (a) = 0 pour montrer que
.(0,5 pt)


Modifié le: lundi 1 février 2016, 08:18
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