Mathématiques

mt d 1999

MATHEMATIQUES - Série D - SESSION 1999

 

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N.B. : Les Quatre Exercices sont obligatoires.

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EXERCICE I(20 points)

Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé d’unité 2cm,

on donne le point A d’affixe –2.

Soit Z le nombre complexe défini par : Z =, avec z ¹ -2 et zC.

On pose Z = X + iY et z = x + iy avec (x, y)IR 2 et (X,Y) IR2.

1 -Déterminer X et Y en fonction de x et y.(3 points)

2 -Déterminer et construire dans P les deux ensembles (C) et (D) définis par :

(C ) = { M(x, y) / Z soit réel }.

(D) = { M(x, y) / Z soit imaginaire pur }. (4 points)

3 -Soient B, C et D les points d’affixes respectives : i, 2 + 2i, 1 - i.

On note par S la similitude plane directe qui transforme B en C et C en D.

a -Donner l’expression complexe de S. (3points)

b -Préciser ces éléments géométriques. (6points)

c -Construire l’image du cercle d’équation : x2 + y2 + 2x - 3y = 0 par S, dans le repère précédent.(4points)

 

 

EXERCICE II(20 points)

 

 

Le tableau ci-dessous donne en milliards de francs malgache (FMG) les importations d’une société, de 1993 à 1998.

 

Année

1993

1994

1995

1996

1997

1998

Rang de l’année : xi

1

2

3

4

5

6

Importations : yi

5

6,5

7

6,5

10

12


1-                 Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (xi, yi ) dans un repère orthogonal. L’unité graphique sera prise égale à 1cm sur l’axe des abscisses x, et 1cm pour 1 milliards sur l’axe des ordonnées y. (4points)

2-Calculer le coefficient de corrélation linéaire. (6points)

3-Par la méthode des moindres carrés, déterminer une équation de la droite de régression de y en x et représenter cette droite dans le même repère défini ci-dessus. (6points)

4-A l’aide de cette droite de régression de y en x, quelle estimation peut-on faire du montant des importations en l’an 2004 ? (4points)

On exprimera les résultats sous forme décimaux, deux chiffres après virgule.

 

EXERCICE III(20 points)

 

Soit f la fonction définie sur Df = [ 0 ; 1[ È ] 1 ; + ¥ [ par :  

On note par (C) la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1cm.

1-                 a)Montrer que f est continue et dérivable au point 0. (3points)

b)Calculer les limites aux bornes de Df. (2points)

2-                 a)Soit x Î Df  , calculer f (x) et étudier son signe sur Df.(3 points)

b)Dresser le tableau de variation de f.(1 point )

c)Etudier les branches infinies de la courbe (C).

Tracer (C) et la droite (T) tangente à (C) au point d’abscisse e2.(3 points)

3-                 Soit g la fonction définie sur D = ] 1 ; + ¥ [ par : g(x) = ,  pour tout x Î D.

On note par (G ) la courbe représentative de g dans le repère précédent.

a)Etudier la position relative de (G ) et (C).(2 points)

b)                 Dresser le tableau de variation de g

et tracer (G ) dans le même repère que (C).(4 points)

c)                 Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par les deux courbes

(G ), (C) et les droites d’équations respectives x = 2, x = e.(2 points)

On donne ln2 0,7 ; e 2,71 ; e2 7,4 .

 

 

EXERCICE IV(20 points)

 

Soit D1 un dé cubique truqué numéroté de 1 à 6.

On note pi la probabilité d’apparition de la face numérotée i lors d’un lancer du dé D1

( i Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} ).

On suppose que p1, p3, p5 forment, dans cet ordre, les trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison  ; puis p2, p4, p6 forment, dans cet ordre, les trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison et que p2 = 4p1.

Soit D2 un dé cubique non truqué numéroté de 1 à 6.

Chaque face de D2 a donc la même probabilité d’apparition lors d’un lancer de ce dé.

1-a)Montrer que les probabilités p1, p2, p3, p4, p5 et p6 vérifient le système :

ì p2 = 4p1 ; p4 = p1

í p3 =p1  ; p5 = p6 =p

î p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1. (4 points)

b)Calculer p1, p2, p3, p4, p5 et p6.(6 points)

2-                 On lance les deux dés D1 et D2 simultanément. On note par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus de D1 et D2 après lancement.

a)Donner l’univers image de X, (ensemble des valeurs prise par X).(2 points)

b)Calculer la probabilité des événements suivants :

[ X = 2 ] , [ X = 3 ], [ X = 4 ] et [ X ³ 5 ].(8 points)

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.


Last modified: Monday, 1 February 2016, 8:49 AM
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