Mathématiques

MT C 20012

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2012

 

MATHEMATIQUES    –  Série : C

 

NB :    -     L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires

-         Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

 

Exercice : (4 points)

 

1 - On considère, dans Z x Z, l’équation définie par : (E) : 11x -7y = 9.

On note par (x0 , y0) la solution de cette équation.

a) Montrer que :                                                                                       (0,5)

b) En déduire une solution particulière de l’équation (E).                                                   (0,25)

c) Résoudre dans Z x Z l’équation (E).                                                                                 (0,75)

d) Trouver un couple (a , b) Z x Z vérifiant :  11a – 7b = 9 = PGCD ( a ; b).                     (0,5)

2- On dispose d’un dé cubique parfait à six faces numérotées 2, 3, 4 dont une face marquée 2, trois faces marquées 3 et deux faces marquées 4.

On lance trois fois de suite ce dé. On note chaque fois le numéro apparu à la face supérieure, en l’écrivant dans l’ordre de gauche à droite pour former un nombre entier naturel.

Calculer la probabilité de chaque événement suivant :

- A : « Le nombre formé ne contient que des chiffres premiers ».                                  (0,5)

- B : « le chiffre 4 apparaît au moins une fois dans le nombre formé ».                        (0,5)

- C : «  Obtenir l’écriture du nombre 92 dans le système à base 5 ».                             (0,5)

- D : « La somme des chiffres dans le nombre formé est 8 ».                                        (0,5)

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

 

Problème 1 : (7 points)

 

On considère dans le plan P un triangle rectangle et isocèle ABC tel que AB=AC=2

(unité graphique : 2cm) et.

On désigne par G le milieu du segment [BC] et par O celui de [AC]. On met les points A et C sur une droite horizontale.

Partie I :

1- a- Déterminer et construire le barycentre F des points A, B et C affectés respectivement de 2, -1 et 1. Montrer que ABGF est un parallélogramme.                                                                                                                                          (0,25+0,5+0,25)

b- Déterminer et construire l’ensemble (E)  des points M du plan P tel que : 

|||| = || ||.                                                        (0,75 + 0,25)

2- On appelle J le symétrie de B par rapport à A et (D) la droite passant par J et parallèle à (AC).

Soit () l’ensemble des points M du plan P tel que, si H est le projeté orthogonal de M sur (D) alors l’équation de () est : 2MA2 – MB2 + MC2 = MH2 – 4       (1)

a- Montrer que () passe par A et C.                                                                                (0,5)

b- Calculer FA2, FB2 et FC2.                                                                                                 (0,5)

c- Démontrer que l’équation (1) est équivalente à l’équation 2MF2 = MH2.

En déduire la nature de ().                                                                                   (0,75 + 0,25)

Partie II : Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct (O, ,  ) tel que = .

1- Déterminer respectivement les affixes zC , zJ et zF des points C, J et F.                                   (0,5)

2- On considère une similitude plane indirecte S qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe  z’.

a- Sachant que S transforme F en J et laisse invariant C, donner l’expression complexe de S.                                                                                                                                             (0,5)

b- En déduire les éléments caractéristiques de S.                                                             (0,75)

3 -    a-  Calculer les affixes des points A’ = S(A) et B’ = S(B).                                                     (0,5)

    b-  Construire dans le même plan P, l’image par S du triangle ABC.                                 (0,75)

 

Problème 2 : (9 points)

 

NB : Les parties A et B sont indépendantes.

 

Partie A :

            On considère la fonction f définie sur IR par :

1 - a) Etudier la continuité de f en x0 = 0.                                                                                     (0,25)

b) En admettant que , étudier la dérivabilité de f en x0 = 0.                               (0,25)

2 - Etudier les variations de f en dressant son tableau de variation.                                          (1)

3 - Soit g la fonction définie sur [2 ; +∞[ par : g(x) = x – f(x).

a) Montrer que, pour tout x [2 ; +∞[ , g’(x) > 0.                                                                 (0,5)

b) Prouver que  , pour x >0.

En déduire                                                                                                                                                                                                     (0,25 + 0,25)

c) Déduire le tableau de variation de g. En déduire que l’équation f(x) = x admet une solution α et une seule, telle que 2≤ α≤3.                         (0,25 + 0,5)

4 - Soit l’intervalle I= [2 ; 3].

a) Démontrer que , si x I alors f(x) I.  (On pourra utiliser  A-2).                                      (0,5)

b) Prouver que pour tout x I, on a :  .

En déduire que : | f(x) – α | ≤| x – α |, pour x I.                                                       (0,5 + 0,25)

5 -Soit la suite  définie par :

a) Démontrer, par récurrence, que un I, pour tout n IN.                                                  (0,25)

b) Montrer que, pour tout n , |un+1 |≤|un - | et  |un - |≤ .                    (0,25 + 0,25)

c) En déduire que la suite (un) converge vers le nombre réel .                                            (0,25)

d) Déterminer n0 pour que u soit une valeur approchée de à 0,1 près.

Calculer u.                                                                                                           (0,25 + 0,25)

6 - On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( 0, , ) d’unité : 2cm.

a) Etudier les branches infinies de (C)                                                                                 (0,25)

b) Tracer (C) et la droite (D) : y = x , en précisant et les demi-tangentes à (C) en x0 = 0.                                                                                                                                                (0,75)

Partie B :

On considère l’équation différentielle : (E1) : y’ – y = xex.

1- Résoudre l’équation différentielle (E2) : y’ – y = 0.                                                            (0,5)

2- Soient a et b deux réels et u la fonction définie sur IR par : u(x) = (ax + b)ex.

a) Déterminer a et b pour que u soit solution de (E1).                                                      (0,25)

b) φ étant une fonction dérivable sur IR. Montrer que (φ +u ) est une solution de (E1) si et seulement si φ est une solution de (E2).                                                                           (0,5)

c) En déduire l’ensemble des solutions de (E1).                                                               (0,25)

3- Déterminer la solution de (E1) qui s’annule en 0.                                                              (0,5)

On donne :  ;  ;  


Last modified: Monday, 1 February 2016, 12:05 PM
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