Mathématiques

MT C 2011

 

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2011

 

MATHEMATIQUES    –  Série : C

 

N.B :  - L’ exercice et les DEUX Problèmes sont obligatoires.

 - Machine à calculer scientifique non programmable autorisée

 

EXERCICE                                                                                                                            (4 points)

 

A-      Probabilité                                                                                                                                  corrigé

On dispose d’un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées : 0, 1, 1, 2, 2 et 2.

      1- On lance une fois ce dé. Calculer les probabilités P, P1, P2 d’apparition respective des faces

     numérotées  0, 1, 2.                                                                                                                (0,25pt x3)

2- Une épreuve consiste à lancer trois fois de suite ce dé et d’une manière indépendante.

     On note chaque fois le numéro obtenu sur la face supérieure de ce dé.

Calculer la probabilité de chacun des  événements suivants :

      A : « La somme des numéros obtenus est égale à 4 ».                                                          (0,25pt)

      B : « Obtenir exactement deux fois le numéro 1 ».                                                                  (0,5pt)

      C : « Obtenir chacun des trois numéros différents lors des 3 lancers ».                                     (0,5pt)

                     NB : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible

 

B-      Arithmétique                                                                                                                               corrigé

1- a) Convertir dans la base 10 l’entier a écrit dans le système binaire : a = .               (0,25pt)

     b) Convertir dans le système binaire l’entier naturel b = 54 de la base 10.                                             (0,25pt)

2- a) Dresser la table d’addition et de multiplication de Z/ 5Z.                                               (0,25pt+0,25pt)

     b) Résoudre dans Z/ 5Z x Z/ 5Zle système :

                                                                                                                             (0,5pt)

   c) Résoudre l’équation :  dans Z/ 5Z.                                                                  (0,5pt)

 

PROBLEME 1     (7 points)                                                                                                         corrigé

      ABEC est un losange de centre 0 dans un plan orienté ( P  ) tel que

AB = AC = BC = 4 cm et          

Les parties A et B sont indépendantes.                                                                                

Partie A :

1- Reproduire cette figure en vraie grandeur.       ( 0,5pt)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

2 - a) On considere le système de points pondérés J=.

Montrer que ce systéme  admet un barycentre G et que G est le milieu du segment [OA]      (0,25pt+0,25pt)

 

b) Montrer que le vecteur 2++ où M est un point variable, est un vecteur

    constant que   l’on déterminera.                                                                                               (0,5pt)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           (0 ;5)

c)  Déterminer et représenter l’ensemble (D) des points M du plan (P) vérifiant :

             (++) (++) = 0                                                       (0,5pt)                        

 3 - Soit S la similitude plane directe de rapport , d’angle  et qui transforme A en B.

       On note I le centre de S et I’ son image par la symétrie centrale SB de centre B.

a)     Montrer que le triangle IAI’ est un triangle équilatéral de sens direct.                                       (0,5pt)

b)    Montrer que (,) =                                                                                                    (0,5pt)

c)     Placer alors les points I et I’                                                                                                (0,5pt)                                                                                                                                                   

Partie B : Utilisation des nombres complexes.

      On rapporte le plan (P) au repère orthonormé direct (A,) avec    ().

   1-a) Donner les affixes  et   respectives de A et B.                                                   (0,25pt + 0,25pt)                       

      b) Donner le module et un argument de l’affixe  de C et en déduire l’affixe  sous forme

          algébrique.                                                                                                        (0,25pt + 0,25pt + 0,25pt)                    

       c) Calculer l’affixe  de O.                                                                                                       (0,25pt)                         

   2-a) Donner l’expression complexe de la similitude directe S de rapport  et d’angle,

           qui transforme A en B.                                                                                                               (0,5pt)

      b) En déduire l’affixe du  centre I de S.                                                                                    (0,5pt)

      c) Vérifier que  est un nombre réel et que  est imaginaire pur.                            (0,25pt+0,25pt)

 

d) Que peut- on en déduire pour les points I, O et A d’une part et pour les droites (IB) et

    (AB) d’autre  part.                                                                                                          (0,25pt+ 0,25pt)                      

 

PROBLEME 2          ( 9 points)                                                                                                   corrigé

      Soit  la fonction numérique définie sur IR par : . On désigne par (C)  sa courbe    

       représentative dans un repère orthonormé (0,) d’unité 2cm.

 

Partie A : Etude de la fonction f.

 

   1- Calculer  et                                                                                   (0,25pt + 0,25pt)

         (Pour la limite en +, poser X=)

   2- a) Etudier les variations de f.                                                                                                      (0,75pt)

      b) Montrer que la droite (D) d’équation  est asymptote à (C),                                       (0,75pt)                                                                                                                                                                                  

      c) Montrer que l’équation = 0 admet pour solutions O et  dans IR  et 2<<3                  (0,25pt+0,5pt)

   3 - Tracer (C), et (D) dans un même repère.                                                                                 (1pt+ 0,5pt)

         On donne e = 2,7 ; = 4,48 et pour construction, on prendra .     

   4 -  Soit  un nombre réel strictement inférieur à   .

a)  Exprimer en fonction de  l’aire A (), en cm2, de la portion du plan délimitée par la courbe (C), 

          la droite  (D) et les droites d’équations respectives = et  .                                        (0,5pt)

b) Calculer.                                                                                                            (0,5pt)

Partie B :  Etude d’une suite.

On considère la fonction numérique g définie sur  par

1 - Etudier les variations de la fonction g.                                                                                       (0,75pt)

2 - Montrer que  est solution de l’équation.                                                                    (0,5pt)

3 - Montrer que pour tout x,                                                                      (0, 5pt)

4 - (Un) nIN est la suite numérique définie par U0 = 3 et   Un+1= g(Un) nIN et que tous les

      termes de la suite appartiennent  à .(on ne demande pas de le démontrer ).

a) Démontrer que pour tout x, on a .                                                              (0,5pt)

b)Démontrer, en utilisant les théorèmes des inégalités des accroissements finis, que pour tout n  IN,  on a :  et que  .                                                        (0,25pt + 0,25pt)

c)Prouver que la suite (U) converge vers un réel l que l’on précisera.                                               (0,5pt)  

   d)Déterminer l’entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p on ait : 

        .                                                                                                                       (0,5pt)


Last modified: Monday, 1 February 2016, 12:09 PM
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