Mathématiques

MT C 2008

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2007

mathematiques    –  Série : C

 

NB :   - L’Exercice et les deux Problèmes sont obligatoires.                                                            

-  Machine à calculer autorisée.

Exercice        (4 points)                                                                                                      corrigé

I.        1 -   Montrer par récurrence que 9n – 2n est divisible par 7 pour tout n Î IN*.                  (0,50 pt)

2 -   Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 3n – 2 et 5n – 3 sont premiers entre eux.                                                                                                                                  (0,25 pt)

3 -   On considère dans Z/7Z, l’équation (E) : x2 – x +  = .

a -   Vérifier que  est une solution de (E).         (0,25 pt)

b -   Démontrer que l’équation (E) est équivalente à : (x )2 = .                  (0,50 pt)

c -   En déduire l’ensemble S des entiers relatifs x vérifiant              (0,50 pt)

 

II.      Une urne contient         - dix boules blanches numérotées de 1 à 10,                       corrigé

- six boules noires numérotées de 11 à 16

- et quatre boules vertes numérotées de 17  à 20.

1 -   On tire au hasard et successivement sans remise deux boules de l’urne ; calculer la probabilité des événements suivants :

A :   « les deux boules tirées sont de même couleur ».                                      (0,50 pt)

B :   « les numéros des boules tirées sont des nombres premiers ».                 (0,50 pt)

2 -   On tire au hasard et successivement avec remise deux boules de l’urne ; calculer la probabilité des événements suivants :

C :   « une au moins des boules tirées est blanche ».                                        (0,50 pt)

D :   «  les numéros des boules tirées sont divisibles par 7 ».                            (0,50 pt)

(N.B. : Mettre les résultats sous forme de fractions irréductibles)

 

Problème  I   (7 points)                                                                                                      corrigé

 

Dans le plan orienté (P), on considère le carré ABCD de centre O tel que la mesure de l’angle () = . Soit E le milieu du segment [CD]. On considère le carré DEFG de centre O tel que la mesure de l’angle () = . On note respectivement (Γ) et (Γ ) les cercles circonscrits aux carrés ABCD et DEFG.

Partie  A

1 -   Faire une figure avec AB = 6cm.                                                                         (0,25 pt)

2 -   Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.

a -   Déterminer le rapport et l’angle de S.                                                         (0,25+0,25)

b -   Préciser l’image du point E par S et en déduire une mesure de l’angle ()                                                                                                                                    (0,25+0,25)

3 -   On note  I le point d’intersection des droites (AE) et (BF).

a -   Placer le point I sur la figure.                                                                                   (0,25 pt)

b -   Montrer que le point I est l’intersection des cercles (Γ) et (Γ).                  (0,50 pt)

(On rappelle que : quatre points distincts A, B, C et D appartiennent à un même cercle si et seulement si mes () = mes () [p])

c -   En déduire que les droites (ID) et (BF) sont perpendiculaires.                  (0,50 pt)

4 -   On considère la symétrie orthogonale D d’axe (D) = (OO).

Montrer que D (D) = I.                                                                                           (0,50 pt)

Partie  B

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (D, ) avec   =  et   = .

1 -   Donner les affixes des points A, B, C, D et G.                                                    (1,00 pt)

2 -   a -   Ecrire l’expression complexe de la similitude plane directe S de centre D qui transforme A en B.                                                                                                          (0,50 pt)

b -   En déduire les éléments caractéristiques de S.                                          (0,50 pt)

3 -   On considère l’application : (P) ¾® (P), qui à tout point M d’affixe z = x + iy associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ ; x, y, x’, y’ Î IR, tel que  z’ = ( + i) + (–  + i).

a -   Déterminer la nature et les éléments géométriques de f.                           (0,25+0,50)

b -   Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y.                                                       (0,50 pt)

c -   Déterminer l’affixe zI du point I tel que f(D) = I.                                         (0,50 pt)

d -   Vérifier que les points G, I et C sont alignés.                                             (0,25 pt)

 

Problème  II (9 points)                                                                                                      corrigé

Partie  A

I.        On considère la fonction g définie sur [0, +¥[ par : g(x) = ln(x+1) – x +   – .

1 -   Etudier la variation de g, puis en déduire le signe de g(x) pour tout x ≥ 0.       (0,25+0,25)

2 -   Montrer que pour tout x ≥ 0 on a : ln(1+x) – x +  ≥ 0 puis déduire des questions précédentes que   –   ≤  ≤ –   + .                                       (0,50+0,50)

II.      Soit la fonction f définie sur [0, +¥[ par :    , si x ≠ 0.

1 -   a -   Etudier la continuité et la dérivabilité de f, à droite au point d’abscisse 0.           (0,25+0,25)

b -   Donner l’équation de la tangente (T) à la courbe de f au point d’abscisse 0.        (0,25 pt)

c -   Etudier les variations de la fonction h définie sur [0, +¥[  par :

h(x) = x(x+1)ln(x+1). En déduire le signe de h pour tout x ≥ 0.                 (0,50+0,25)

d -   Déterminer la fonction dérivée f de f et en déduire son signe.                 (0,25+0,25)

e -   Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative (C ) avec la tangente (T), dans le plan muni d’un repère (O ; , ) avec 1 unité = 2cm.                                                                                                                                         (0,5+0,5+0,25)

2 -   Soit F la fonction définie par F(x) =  dt, avec x ≥ 0.  Montrer que

F(1) . (On pourra utiliser la question I.2-) Que peut-on en conclure ?                                                                                                                                              (0,50+0,25)

Partie  B

I.        1 -   Montrer que l’image par f de l’intervalle I = [0,1] est incluse dans lui-même.  (0,25 pt)

2 -   Montrer que l’équation f(x) = x admet une solution unique a Î I.                    (0,50 pt)

3 -   Soit la fonction k définie sur [0, +¥[  par : k(x) = x3+x2+2x – 2(x+1) ln(x+1).

Calculer la dérivée k’(x) de k(x) pour tout x ≥ 0 et montrer que k’ est croissante sur [0, +¥[ . En déduire le signe de k’(x) et de k(x) pour tout x ≥ 0.                                     (0,25x4)

4 -   Montrer alors que pour tout  x ≥ 0,  f(x) +   ≥ 0, puis en déduire que pour tout x Î I       |f(x)|   .                                                                                                     (0,50+0,25)

II.      On considère la suite (Un)nÎIN définie par :  n Î IN.

1 -   Montrer par récurrence que pour tout n Î IN,  Un Î I.                                       (0,25 pt)

2 -   Montrer, en appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis, que pour tout entier naturel n,  ­|Un+1 a|   |Una|.                                                         (0,25 pt)

3 -   En déduire que pour tout entier naturel n, |Una|  .                                (0,25 pt)

4 -   Calculer la limite de Un quand n tend vers +¥                                                   (0,25 pt)

 

Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 8:38 AM
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