Mathématiques

MT C 2004

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2004

 

mathematiques    –  Série : C

 

 

N.B. :  - L’Exercice et les DEUX Problèmes sont obligatoires.

            - Machine à calculer autorisée.

 

Exercice                      (4 points)

 

I)                     Un dé cubique a quatre faces numérotées 0 et deux faces numérotées 1. Quand on lance ce dé, toutes les faces ont la même probabilité d’apparition.

1.-   On lance ce dé une fois. Calculer les probabilités des événements suivants :

A : « La face supérieure du dé porte le numéro 0 ».                                                        (0,50 pt)

B : « La face supérieure du dé porte le numéro 1 ».                                                        (0,25 pt)

2.-   On lance ce dé cinq fois de suite ; les lancers étant indépendants, calculer les probabilités des événements suivants :

C : « Le numéro 0 apparaît exactement une fois ».                                                          (0,50 pt)

D : « Le numéro 1 apparaît exactement cinq fois ».                                                         (0,25 pt)

E : « Le numéro 0 apparaît au moins une fois ».                                                              (0,50 pt)

II)     1.-   a)     Convertir dans la base 10 l’entier x écrit dans le système binaire : .              (0,25 pt)

b)    Convertir dans le système binaire l’entier naturel y ' 23 de la base 10.                            (0,25 pt)

2.-   a)     Dresser la table de multiplication et la table d’addition de Z/2Z.                                   (0,25 + 0,25 pt)

b)    Résoudre dans Z/2Z l’équation à une inconnue                               (0,50 pt)

c)     Résoudre dans Z/2Z x Z/2Z  le système de deux équations à deux inconnues x et y 

                                                                                                (0,50 pt)

 

Problème 1      (7 points)

On considère un triangle (ABC) rectangle en A avec mes   et AB ' 2AC ' 8 cm.

Soient I, J et E les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC].

PARTIE A

1.-   a)     Déterminer et construire le barycentre G du système des points pondérés {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}.                                                                                                                                        (0,50 pt)

b)    Exprimer  en fonction de  et calculer la distance AG.                                           (0,25 + 0,25 pt)

c)     Montrer que le point E est le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC).                      (0,25 pt)

d)    Construire le point D tel que (ABDC) soit un rectangle et déterminer 2 isométries affines qui laissent globalement invariant le rectangle (ABDC).                                                                     (0,25 + 0,25 pt)

e)    Déterminer et construire l’ensemble (C) des points M vérifiant : MA2 + MB2 + MC2 = 20.  (0,50 pt)

Vérifier que E appartient à  (C).                                                                                       (0,25 pt)

2.-   Montrer que pour tout point M du plan contenant A, B et C   est un vecteur fixe que l’on précisera. Construire le point K tel que  = .                                                  (0,25 + 0,25 pt)

PARTIE B

Le plan complexe (P ) est rapporté à un repère orthonormé (A, , ) tel que =  , = .

Soient S1 la similitude plane directe qui transforme C en C et I en A ; S2 la similitude plane directe qui transforme I en I et A en C.

1.-   Déterminer zA, zB, zC, zI affixes respectives des points A, B, C et I.                                       (0,50 pt)

2.-   a)     Déterminer les expressions complexes de S1 et S2.                                                       (0,5 + 0,5 pt)

b)    Préciser les éléments caractéristiques de ces deux similitudes directes.                         (0,5 + 0,5 pt)

3.-   Soit R = S2 o S1.

a)     Préciser l’image de I par R.                                                                                           (0,25 pt)

b)    Donner l’expression complexe associée à la transformation ponctuelle R.                       (0,50 pt)

c)     En déduire ses éléments géométriques.                                                                        (0,25 pt)

4.-   Soit g la transformation ponctuelle réciproque de S1.

       Caractériser g et trouver la représentation complexe associée à g.                                         (0,25 + 0,25 pt)

 

Problème 2      (9 points)

Pour tout n élément de IN*, on considère la fonction fn définie par : 

.

On note (Cn) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé (O, ,) d’unité : 2 cm.

PARTIE I

On désigne par In =   dx ,   n IN*.

1.-   Calculer I1.                                                                                                                           (0,50 pt)

2.-   A l’aide d’une intégration par parties,

a)     Calculer I2.                                                                                                                    (0,25 pt)

b)    Donner une expression de In+1 en fonction de In.                                                            (0,50 pt)

c)     En déduire I3.                                                                                                               (0,25 pt)

PARTIE II        Etude des fonctions fn pour n fixé

A/  1.-   a)     Montrer que fn est continue en 0.                                                                                    (0,25 pt)

b)    Etudier la dérivabilité de fn en 0.                                                                                     (0,25 pt)

c)     En déduire la tangente à (Cn) au point d’abscisse x0 = 0.                                                  (0,25 pt)

2.-   Montrer que l’équation fn+1(x) fn(x) = 0 admet trois solutions dans l’intervalle [0, +[.              (0,50 pt)

En déduire que toutes les courbes (Cn) passe par 3 points fixes dont on précisera les coordonnées.                                                                                                                                    (0,25 pt)

B/         Variation de fn , pour n 2.

1.-   Calculer  fn(x).                                                                                                             (0,25 pt)

2.-   Montrer que pour tout x > 0 :  (x) = [n + ln x] [ln x]n־1.                                                          (0,50 pt)

3.-   Pour n impair

a)     Montrer que (x) et [n + ln x] sont de même signe.                                                       (0,25 pt)

b)    Dresser le tableau de variation de fn. On calculera en particulier fn(e־n).                            (0,50 + 0,25 pt)

Application : Dresser le tableau de variation de f3.                                                          (0,25 pt)

4.-   Pour n pair

a)     Montrer que :

- pour tout x    ]0, e־n[ U ]1, +(x) > 0.                                                                  (0,25 pt)

- pour tout x [e־n,  1]  (x)  0.                                                                                  (0,25 pt)

b)    Dresser le tableau de variation de fn.                                                                              (0,50 pt)

Application : Dresser le tableau de variation de f2.                                                          (0,25 pt)

5.-   Etudier les positions relatives de (C2) et (C3) respectivement dans les intervalles ]1, e[ et [e,  +[.       

                                                                                                                                        (0,25 + 0,25 pt)

6.-   Montrer que le point I(1, 0) est un point d’inflexion de (C3).                                                     (0,25 pt)

7.-   Tracer dans un même repère (C2) et (C3).                                                                               (0,50 + 0,50 pt)

C/         On note g la restriction de f2 à l’intervalle [1, e].

1.-   Montrer que g est une bijection de l’intervalle [1, e] sur un intervalle J que l’on déterminera.    (0,25 pt)

2.-   Calculer (g־1)’ (e),    g־1 étant la fonction réciproque de g.                                                    (0,25 pt)

3.-   Représenter graphiquement g־1 dans le même repère que (C2) et (C3).                                  (0,50 pt)

On donne :  e־3 ≈  0,05   ;   e־2  ≈  0,13    ;   e  ≈  2,7.

 


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 9:11 AM
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