Mathématiques

MT C 2003

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2003

 

mathematiques    –  Série : C

 

N.B. : Le Candidat doit traiter l’exercice et les DEUX problèmes.

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EXERCICE                 ( 4 points )

I –      Une roue est divisée en douze secteurs identiques : trois rouges, quatre blancs, quatre verts et un noir. Quand on fait tourner la roue, chaque secteur a la même probabilité d’être pointé par un index fixe lorsque la roue s’arrête.

1°- Setra tourne la roue une fois. Déterminer les probabilités des événements suivants :

A : « l’index pointe sur un secteur noir.                                                        ( 0,25 pt ) 

B : « l’index pointe sur un rouge ou un blanc.                                                (0,25 pt )

2°- On adopte la règle suivante : lors d’une partie, le joueur marque 10 points si l’index pointe sur un secteur noir ; 5 points sur un rouge ; 1 point sur un vert et ( - 3 ) points sur un blanc. Naivo joue trois parties successives d’une manière indépendante. Déterminer les probabilités des événements :

C : « Naivo totalise 25 points ».                                                                 (0,75 pt )

D : « Naivo totalise au moins 21 points ».                                                     (0,75 pt )

II – 1°- Pour http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420044055 dans Z/6Z , donner toutes les valeurs de http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420044055.                                  (0,25 pt )

2°- Donner alors les quatre éléments de Z/6Z qui sont solutions de l’équation

http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image003.gif?OpenElement&1420044055=http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420044055, p étant un entier naturel non nul.                                                             (0,75 pt )

3°- Montrer que pour tout http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420044055 de Z/6Z  on a http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image004.gif?OpenElement&1420044055=http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420044055.                                                (0,25 pt )

4°- En déduire que pour tout entier naturel n ; n3 – n  est divisible par 6.                  (0,75 pt )

 

PROBLEME 1             ( 7 points )

         Dans un plan orienté P, soit ABCD un carré direct, de centre J.

Partie A.

I – On désigne par    r : la rotation de centre A et d’angle http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420044055.

                            t : la translation de vecteur http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image006.gif?OpenElement&1420044055.

                            h : l’homothétie de centre C, de rapport http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image007.gif?OpenElement&1420044055.

1 – a) Montrer que r’ = t o r est une rotation dont on précisera l’angle.                     (0,25 pt )

b) Déterminer les images des points A et B par r’.                                             (0,25 pt )

c) En déduire le centre de r’.                                                                        (0,75 pt )

2 – On note  f = r’ o h.

a) Montrer que f  est une similitude directe dont on précisera l’angle et le rapport.  (0,25 pt )

b) Soit I le centre de f. Après avoir déterminé l’image de C  par f, prouver que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image008.gif?OpenElement&1420044055 

et  ID = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image007.gif?OpenElement&1420044055.IC.                                                                                           (0,75 pt )

c) En considérant le triangle (ICD), donner une mesure de l’angle http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image009.gif?OpenElement&1420044055

et placer I sur la figure.                                                                                (0,75 pt )

d) Déterminer et construire l’ensemble : (E) = {M Î P / MD2 – 3MC2 = 0}               (1 pt )

II – On note K le milieu de [ CD ]. On choisit comme repère orthonormé direct http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image010.gif?OpenElement&1420044055.

1. Quelles sont les affixes de A. C, J, K ?                                                        (0, 5  pt )

2. On note S la similitude directe qui transforme A en J et C en K.

a) Ecrire l’expression complexe de S.                                                         (0,25 pt )

b) Donner ses éléments géométriques.                                                       (0,25 pt )

Partie B.

         E, F, G sont trois points non alignés au plan P , q  un réel donné non nul.

On note :      RF : la rotation de centre F et d’angle q.

         RE : la rotation de centre E et d’angle q.

         On note H = RF (E) ,   P = RF (G)  et  Q = RE (G).

1. Quelle est la nature de http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image011.gif?OpenElement&1420044055 ?                                                         (0,75 pt )

2. En déduire que E H P Q est un parallélogramme.                                           (1,25 pt )

 

PROBLEME 2             ( 9 points )

Partie A.

Soit f la fonction définie par http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image012.gif?OpenElement&1420044055 où http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image013.gif?OpenElement&1420044055désigne le logarithme népérien. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image014.gif?OpenElement&1420044055 avec IIhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image015.gif?OpenElement&1420044055II = 1 cm, IIhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image016.gif?OpenElement&1420044055II = 5 cm.

1. On pose g (x) = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image017.gif?OpenElement&1420044055

a) Etudier la variation de g.                                                                               ( 0,5 pt )

b) Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution unique a telle que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image018.gif?OpenElement&1420044055< a < 2  et en déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x.                                                                         (0,5+0,25 pt)

2. Etudier la variation de f.                                                                                (1 pt)

3. Ecrire f(a) sans In a et en déduire que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image019.gif?OpenElement&1420044055<f (a) < http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image020.gif?OpenElement&1420044055.                            (0,25+ 0,5 pt)

4. Tracer la courbe (C).                                                                                                         ( 0,5 pt )

5. On pose G(x)=http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image021.gif?OpenElement&1420044055>0. Montrer que G est dérivable et calculer G’ (x). (0,25+0,5 pt)

Partie B.

On pose pour tout x>0 ,  h (x) =http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image022.gif?OpenElement&1420044055.

1. Montrer que l’équation g(x) =0 est équivalente à h(x) = x.                                           (0,25 pt )

2. Calculer h’ (x) et vérifier que : " x Î http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image023.gif?OpenElement&1420044055http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image024.gif?OpenElement&1420044055.

En déduire qu’il existe un réel  k Î ] 0 , 1 [  tel que : " x Î http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image023.gif?OpenElement&1420044055, |h’ (x) | £ k.
  (0,25+0,5+0,5pt)

3. Prouver que " x , y Î http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image023.gif?OpenElement&1420044055 , http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image025.gif?OpenElement&1420044055                                  (0,75 pt )

4. On définit la suite (Un) par http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image026.gif?OpenElement&1420044055

a) Montrer que "n Î IN , http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image027.gif?OpenElement&1420044055                                                               ( 0,5 pt  )

b) Montrer que "n Î IN , http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image028.gif?OpenElement&1420044055                                             (0,75 pt )

c) En déduire que "n Î IN , http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image029.gif?OpenElement&1420044055 et calculer limhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image030.gif?OpenElement&1420044055.          (0,25 + 0,25 pt)

Partie C.

On considère l’équation différentielle (E) y’’+ 3y’+2y= http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image031.gif?OpenElement&1420044055http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/67DEACB997ACD3AEC1257A29005491AE/$FILE/image032.gif?OpenElement&1420044055

1. Vérifier que la fonction f de la partie A est solution de (E).                                  (0,25 pt )

2. Résoudre alors (E).                                                                                      (0, 5 pt  )

 

On donne : e–2 ≈ 0,13        e–3/2 ≈ 0,22   e1/2 ≈1,6       e2/3 ≈ 1,94.


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 9:17 AM
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