Mathématiques

MT C 2002

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2002

 

mathematiques    –  Série : C

 

N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

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EXERCICE 1                ( 4 points )

Dans le plan orienté (), on considère le rectangle ABCD tel que AD = 2AB = 4 et mes http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420044004= http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420044004.

Soit I le milieu du segment [ BC ] et ( C  ) le cercle de centre B passant par A.

1°-   a)–   Déterminer le barycentre du système de points pondérés {(A,1), (C,1), (D, – 1)}.                   (0,25 pt)

b)–   On considère l’ensemble (http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image003.gif?OpenElement&1420044004) des points M du plan (P ) tels que Èhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image004.gif?OpenElement&1420044004Èhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420044004+Èhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image006.gif?OpenElement&1420044004Èhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420044004Èhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image007.gif?OpenElement&1420044004Èhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420044004= k.

Calculer le réel k pour que (http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image003.gif?OpenElement&1420044004) soit le cercle (C ).                                                             (0,50 pt)

2°-   Soit S la similitude plane directe qui transforme A en I et B en D et soit s la symétrie orthogonale d’axe (BD).

On se propose dans cette question de déterminer géométriquement les éléments caractéristiques de S.

a) –  Déterminer et construire l’image (C ) du cercle (C ) par S.                                                           (0,25 pt)

b) –  Soit W le point d’intersection de (C ) et (C ) autre que I. Montrer que (DB) est la médiatrice du segment [WI] et que W = s ( I ).                                                                                                             (0,50 pt)

c) –  En déduire que mes (http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image008.gif?OpenElement&1420044004) =mes (http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image009.gif?OpenElement&1420044004) et que  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image010.gif?OpenElement&1420044004 http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image011.gif?OpenElement&1420044004.                                         (0,25 pt)

d) –  En utilisant le triangle rectangle isocèle ICD et le point B, calculer la mesure de l’angle (http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image012.gif?OpenElement&1420044004)  et le rapport http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image013.gif?OpenElement&1420044004.                                                                                                                           (0,50 pt)

e) –  En déduire le centre, le rapport et l’angle de S.                                                                          (0,25 pt)

3° -  On rapporte maintenant le plan ( P ) au repère orthonormé direct (A ; http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image014.gif?OpenElement&1420044004,http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image015.gif?OpenElement&1420044004) où  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image014.gif?OpenElement&1420044004=http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image016.gif?OpenElement&1420044004  et http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image015.gif?OpenElement&1420044004 = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image017.gif?OpenElement&1420044004.

a) – Déterminer les affixes des points A, B, D et I.                                                                               (0,50 pt)

b) – Donner l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques.                             (0,50 pt)

c) – Donner l’expression complexe de s et montrer que l’image par s du point I est le centre W de S.            (0,50 pt)

 

EXERCICE 2                ( 4 points )http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image018.gif?OpenElement&1420044004

1°-   a) –  Résoudre dans 9  x 9  l’équation 11x – 8y = 1.                                                                      (0,50 pt)

b) –  Calculer PGCD (319, 232, 145) puis résoudre dans 9  x 9  l’équation 319x – 232y = 145.         (1,00  pt)

2° - Une urne contient 81 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 81. L’épreuve E consiste à tirer au

        hasard et successivement deux boules de l’urne, sans remettre dans l’urne la boule tirée.

a) –  Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Tirer deux boules portant deux numéros pairs ».                                                           (0,50 pt)

B : « Tirer deux boules portant deux numéros multiples de 3 ».                                             (0,50 pt)

C : « Tirer deux boules portant deux numéros qui sont des nombres premiers ».                   (0,50 pt)

3°    Le plan ( P ) est rapporté à un repère orthonormé. On donne les deux droites (D1) d’équation

11x – 8y – 1 = 0 et (D2) d’équation 319x – 232y – 145 = 0. (On ne demande pas de construire ces deux droites). A l’épreuve E décrit précédemment, on associe le point M(x, y) du plan où x est le numéro porté par la première boule tirée et y par la seconde.  Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

D : « Le point M appartient à la droite (D1) ».                                                                             (0,50 pt)

E : « Le point M n’appartient pas à la droite (D2) ».                                                                    (0,50 pt)

 

PROBLEME                 ( 12 points )

On considère la fonction numérique f définie par :         http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image019.gif?OpenElement&1420044004

On note ( C  ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image020.gif?OpenElement&1420044004d’unité 1 cm.

 

Partie A]

1° - Etudier la continuité et la dérivabilité de f en O.                                                                    (0,25+0,5pt)

2° - On considère la fonction g définie sur ]¥ ; 0 [ par g(x) = 1 – x + x ln |x|.

a) – Etudier les variations de g.                                                                                              (0,75 pt)

b) – Montrer qu’il existe un réel unique  a Î ] – 4 ; – 3 [ tel que g(a) = 0.                                (0,25 pt)

c) – En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.                                                       (0,25 pt)

3° -  a) – Montrer que pour tout x < 0,  x ¹ – 1, f(x) a le même signe que – g(x).                            (0,50 pt)

b – Vérifier que f(a) = 0 et que f(a) = 1 + a  où  a est défini dans 2°/b).                                (0,25 pt)

c – Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.                                           (1,25 pt)

4° - a) – Etudier les branches infinies de ( C  ).                                                                              (0,50 pt)

b) – Calculer à 10 – 1 près : f(– 8),  f(– 6), f(–2) et f(– http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image021.gif?OpenElement&1420044004).                                                           (0,50 pt)

c) – Prendre a = – 3,6 et construire la courbe ( C  ).                                                               (0,50 pt)      

On donne : ln 2 0,7   ;    ln 6   ≈   1,8    ;      e ≈ 2,7.

 

Partie B]

1° - On considère l’équation différentielle (E) : y’’ – y – 2y = e – x (– 6x – 4 ).

a)       – Vérifier que la fonction j définie sur 3 par  j (x) = e – x (x2 + 2x) est solution de (E).        (0,50 pt)

b)    –   Montrer qu’une fonction numérique f est solution de (E) si et seulement si f– j est solution de l’équation différentielle ( E’ ) :y’’ – y – 2 y = 0.                                                                (0,25 pt)

c)       – Résoudre (E) et en déduire toutes les solutions de (E).                                                (0,50 pt)

d)      – Déterminer l’unique solution f de (E) telle que f(0) =1 et f(0) = 1.                                     (0,50 pt)

2° - On pose  Il =http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image022.gif?OpenElement&1420044004l > 0.http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image018.gif?OpenElement&1420044004

a) – Par deux intégrations par parties successives, exprimer Il en fonction de l. Calculer http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image023.gif?OpenElement&1420044004Il.         (1,25+0,25pt)   

 

b) – En déduire, en cm2, l’aire du domaine plan ( D) ensemble des points M(x,y) tels que x ³ 0  et 0 £  y £ f(x).    (0,25 pt)

Partie C]

On se propose d’étudier la convergence de la suite (Un)n ÎÐ* définie par :

" n ÎIN*,   http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image024.gif?OpenElement&1420044004.

1° - Vérifier que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image025.gif?OpenElement&1420044004 = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image026.gif?OpenElement&1420044004 et http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image027.gif?OpenElement&1420044004= http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image026.gif?OpenElement&1420044004 + http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image028.gif?OpenElement&1420044004 ( f étant définie dans la partie A], x ³ 0).   (1pt)

2°   a) –Soit n Î IN* et k un entier tel que 0 £  k  £  n – 1. Vérifier que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image029.gif?OpenElement&1420044004.              (0,25 pt)

b) – En utilisant le sens de variation de f sur [0 , 1], montrer que : http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image030.gif?OpenElement&1420044004(0,50 pt)

c) – En déduire que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image031.gif?OpenElement&1420044004 et que I1 £ http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image026.gif?OpenElement&1420044004 £ I1 + http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image032.gif?OpenElement&1420044004.                                 (0,5+0,25 pt)

d) – Montrer que (http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3A19C81CA70AADC4C1257A29005491B9/$FILE/image026.gif?OpenElement&1420044004) n Î Ð* est convergente et donner sa limite.                                                    (0,50 pt)


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 9:26 AM
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