Mathématiques

MT C 2001

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2001

 

mathematiques    –  Série : C

 

N.B. : Les  DEUX Exercices et le Problème sont obligatoires.

- - - - - - - - - - - - - -

Exercice1             (04 points)

 

Dans le plan orienté (P), on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = AC et

mes http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420043806= http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420043806

1.      Dans cette question, le plan (P) est rapporté au repère orthonormé direct (A, http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image003.gif?OpenElement&1420043806).

a.        Déterminer les affixes respectives zA, zB, zC des points A, B, C.                                     (0,25 pt)

b.        Soit T la transformation ponctuelle du plan (P) vers (P) qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = – z + 2i.

Caractériser géométriquement T.                                                                            (0,25 pt)

c.        Donner l’expression complexe de la rotation R de centre A et d’angle http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420043806.                        (0,25 pt)

d.        On pose f = T o R. Donner l’expression complexe de f.                                                 (0,25 pt)

En déduire la nature et les éléments géométriques de f.                                              (0,25 pt)

e.        On note I le centre de f ; donner la nature du quadrilatère ABIC. Justifier votre réponse.   (0,25 pt)

Dans toute la suite, on utilisera une méthode géométrique. On pose AB=AC=a où a Î IRhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image004.gif?OpenElement&1420043806.

2.      Soit S la similitude plane directe de centre I qui transforme A en B.

3.      On note C’ = S(C) ; O’ = S(O) où O est le milieu du segment [BC].

a.        Donner le rapport et l’angle de S.                                                                            (0,50 pt)

b.        Montrer que C’ Î [IA].                                                                                          (0,25 pt)

c.        Donner l’image par S du segment [IA] et montrer que O’ est le milieu du segment [IB].      (0,75 pt)

4.      On considère le système de points pondérés {(A ; – 1), (B ; 1), (C ; 1)}.

a.        Quel est le barycentre G de ce système ?                                                                 (0,25 pt)

b.        Déterminer et construire l’ensemble ( G ) des points M du plan

tels que  - MA2 + MB2 + MC2 = a2.                                                                                 (0,75 pt)

 

Exercice2             (04 points)

 

1.      On considère deux dés cubiques parfaitement équilibrés D1 et D2 tels que :

-         D1 porte sur ses six faces les chiffres 1, 1, 2, 3, 3, 4.

-         D2 porte sur ses six faces les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6.

On lance simultanément ces deux dés. On note a le chiffre lu sur D1 et b le chiffre lu sur D2.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

        A : « obtenir un couple (a, b) tel que a = b »                                                              (0,50 pt)

         B : « obtenir un couple (a, b) de nombres impairs ».                                                     (0,50 pt)

2.      On prend le dé D2 dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.

On lance une fois ce dé. A chaque entier n obtenu (1[ n [ 6), on associe le couple d’entiers (a, b) tels que a = 5n + 3 et b = 3n + 1.

a.        Pour n Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}, donner le couple (a, b) correspondant ainsi que leur plus grand commun diviseur d (d = PGCD (a, b)).                                                                      (1,00 pt)

b.        Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

C : « a et b sont des nombres premiers »                                                                                                                        (0,50 pt)

          D : « a et b sont premiers entre eux ».                                                                    (0,50 pt)

3.      Résoudre l’équation 13x – 7y = 11, d’inconnues (x, y) Î IN x IN.                                          (1,00 pt)

 

 

PROBLEME                (12 points)

 

On considère la fonction numérique fn définie sur IR par : fn(x) = xne–x où n Î IN* et f0(x) = e–x

On note (Cn) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé.

PARTIE A.               Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 1.

1.      Calculer la limite de fn(x) quand  x d + ¥.                                                                        (0,25 pt)

2.      Dans toute la suite de cette question, on distinguera les cas n pair et n impair.

a.       

 

Calculer la limite de fn(x) quand x d - ¥.                                                                    (0,50 pt)

b.        Calculer  fn (x) et dresser le tableau de variation de fn.                                                (2,00 pts)

c.        Etudier le signe de fn+1(x) – fn(x) pour tout  x ÎIR.                                                      (0,50 pt)

En déduire les positions relatives de (Cn+1) et (Cn).                                                     (0,50 pt)

3.      Montrer que toutes les courbes (Cn) passent par deux points fixes indépendants de n dont on précisera les coordonnées.                                                                                          (0,50 pt)

PARTIE B.

1.      On considère l’équation différentielle (E) : y ’’ + 2y ’ + y = 2e–x.

a.        Vérifier que la fonction j définie sur IR par j(x) = x2e–x est solution de (E).                     (0,50 pt)

b.        Montrer qu’une fonction numérique f est solution de (E) si et seulement si f - j est solution de l’équation (E’) : y ’’ + 2y ’ + y = 0.                                                                          (0,25 pt)

c.        Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E).                                               (0,75 pt)

d.        Déterminer l’unique solution f de (E) telle que f(0) = 1 et f ’(0) = - 2 et exprimer f en fonction de f0, f1 et f2.                                                                                                      (0,75 pt)

2.      On considère la fonction numérique f définie sur IR par f(x) = (x2 – x + 1)e–x.

a.        Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.                                      (1,00 pt)

b.        Construire la courbe représentative (C) de f dans un repère orthogonal (O, http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420043806).

Unités  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image006.gif?OpenElement&1420043806 = 1 cm ; http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image007.gif?OpenElement&1420043806 = 5 cm.                                                                            (0,50 pt)

         On donne : e–1 ≈ 0,37 ; e–2 ≈  0,13.

PARTIE C.

Pour tout n Î IN et pour tout x Î IRhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image008.gif?OpenElement&1420043806 , on pose In(x) = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image009.gif?OpenElement&1420043806 (On rappelle que 0 ! = 1).

1.      a.   Calculer I0(x), I1(x) et I2(x) en fonction de x.                                                             (0,75 pt)

b.        Utiliser la question B 1.d. pour calculer l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe (x’Ox) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.                                                         (0,50 pt)

2.      a.   Pour tout n Î IN et pour tout x Î IRhttp://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image008.gif?OpenElement&1420043806, exprimer In+1(x) en fonction de In(x).                    (0,50 pt)

b.        En déduire In(x) en fonction de n et x.                                                                     (0,50 pt)

c.        Pour n fixé, calculer la limite de In(x) quand x à + ¥.                                                  (0,25 pt)

3.      a.   On prend x = 1, démontrer que pour tout n Î IN, 0 £ In(1) £ http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image010.gif?OpenElement&1420043806.                              (0,50 pt)

b.        En déduire la limite de In(1) quand nà+ ¥.                                                                (0,25 pt)

c.        Déduire de la question 2. b. l’expression de In(1) en fonction de n.                                (0,25 pt)

d.         Utiliser les résultats précédents pour montrer que : e = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/74E910BE7FADA273C1257A29005491C2/$FILE/image011.gif?OpenElement&1420043806.                                (0,50 pt)

 


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 9:34 AM
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