Mathématiques

MT C 2000

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2000

 

marhematiques    –  Série : C

 

Exercice 1          (4 points)                                                            corrigé

Zone de Texte:  Dans un plan orienté P, on considère le triangle direct ABC isocèle et rectangle en A. (Voir figure). On note par :

-         I le milieu du segment [ BC ] ;

-         rB la rotation de centre B et d’angle http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420045603 ;

-         rC la rotation de centre C et d’angle http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420045603 ;

-         t la translation de vecteur http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image003.gif?OpenElement&1420045603 ;

-         g = t o rB  et  f = rC o g.

 

1.                Méthode complexe : P étant muni du repère orthonormé R = ( A ; http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image004.gif?OpenElement&1420045603,http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420045603 ).

a.   Déterminer zA , zB , zC et zI affixes respectives des points A, B, C et I.                (0,5 pt)

b.   Donner l’expression complexe de f.                                                                (1 pt)

c.   Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f.                                     (0,5 pt)

2.      Méthode géométrique :                                                                                

         a.   Caractériser g en décomposant t et rB en deux symétries orthogonales.              (0,75 pt)

         b.   Caractériser f en décomposant rC et g en deux symétries orthogonales.              (0,75 pt)

3.       Soit S la similitude plane indirecte de centre A et qui transforme B en I.                 

         a.   Déterminer le rapport de S.                                                                           (0,25 pt)

         b.   Soit (C) le cercle de centre A et passant par B. La demi-droite [AI), d’origine A et contenant I, coupe (C) au point B. Montrer qu’il existe une symétrie orthogonale d’axe (D) qui transforme B en B’. Déterminer alors l’axe de S.                                    (0,25 pt)

 

Exercice 2         (4 points)                                                  corrigé

Un sac contient dix boules indiscernables au toucher. Cinq boules sont blanches dont une porte le numéro 0, une le numéro 1 et trois le numéro 2. Cinq boules sont noires dont quatre portent le numéro 2 et une le numéro 3.

1.       On tire au hasard, simultanément trois boules du sac. Calculer les probabilités des événements suivants :                                                                                       

         A : « Toutes les boules sont blanches ».                                                              (0,5 pt)

         B :  « Les boules sont de couleurs différentes ».                                                    (0,5 pt)

         C :  « On obtient la boule numérotée 0 ».                                                             (0,5 pt)

         D : « Les numéros des boules sont pairs ».                                                          (0,5 pt)

2.       Dans cette partie, on enlève du sac la boule numérotée 0. L’épreuve est maintenant la suivante : du sac contenant les neuf boules restantes, on tire au hasard, successivement et avec remise deux boules. On note par a le numéro apparu sur la première boule, b le numéro apparu sur la deuxième et d = PGCD( a, ) le plus grand commun diviseur de a et  b.   

         a.   Démontrer que l’ensemble des valeurs prises par d est D ={ 1, 2, 3 }.               (0,25 pt)

b.        Pour tout k Î D, on désigne par Ek l’ensemble des couples ( a, b ) tels que

d = k ,c’est–à–dire : Ek = {( a, b )/PGCD ( a, b ) = k }. On note par pk la probabilité de Ek .

           Montrer que p1 = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image006.gif?OpenElement&1420045603 , puis déterminer p2 et p3.                                         (0,75 pt)

         c.   Calculer la probabilité de l’événement E : « l’équation ax + by = 2, d’inconnues ( x, y ) de  Z x Z admet des solutions ».                                                                    (0,5 pt)

         d.   Résoudre dans ZxZ l’équation : 3x + 2y = 2.                                                  (0,5 pt)

 

 

Problème            (12 points)                                                                corrigé

 

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + ¥[ par :

 

http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image007.jpg?OpenElement&1420045603

On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image008.gif?OpenElement&1420045603) , d’unité 5 cm.

Partie A

1.       Soit g la fonction définie sur ] 0 ; 1 [ par : g(x) = ln x – ln (1 – x).                        

         a.   Résoudre l’équation g(x) = 0.                                                                        (0,5 pt)

         b.   En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de g(x).                                      (0,5 pt)

         c.   Montrer que pour tout x Î ] 0 ; 1 [ , f ’ (x) = g(x).                                          (0,5 pt)

2.       Soit h la fonction définie sur [1 ; + ¥ [ par : h(x) = ( 2 – x ) http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image009.gif?OpenElement&1420045603– 2.                      

         a.   Montrer que h est strictement décroissante sur [ 1 ; + ¥ [.                               (0,5 pt)

         b.   Montrer que l’équation h (x) = 0 admet une solution unique a Î ] http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image010.gif?OpenElement&1420045603 ; 2 [ .       (0,5 pt)

         c.   En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de h (x).                                     (0,5 pt)

         d.   Montrer que pour tout x Î ] 1 ; + ¥ [, f ’ (x) = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image011.gif?OpenElement&1420045603.                            (0,5 pt)

3.       a.   Montrer que f est continue en 0 et en 1.                                                         (0,5 pt)

         b.   Montrer que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image012.gif?OpenElement&1420045603,     http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image013.gif?OpenElement&1420045603,      http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image014.gif?OpenElement&1420045603.                   

               Interpréter graphiquement ces résultats.                                                         (1,5 pt)

         c.   Montrer que (C) admet une asymptote horizontale que l’on précisera.                (0,5 pt)

4.       a.   Utiliser l’égalité h (a) = 0 pour montrer que f (a) = – 1 + http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image015.gif?OpenElement&1420045603 et dresser le tableau de variation de f sur [ 0 ; + ¥ [.                                                                        (1 pt)

         b.   Tracer (C) sur l’intervalle [ 0 ; 3 ] en précisant les demi–tangentes en 0 et en 1. (1 pt)

On donne pour la construction :

        

x

0,5

1

a = 1,6

2

3

f(x)

– 0,69

0

0,25

0,22

0,12

 

Partie B

Soit a Î ] http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image010.gif?OpenElement&1420045603 ; 2 [, le réel déterminé dans la question 2.b. de la partie A.                         

1.       Pour tout n Î IN*, on pose In (a) = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image016.gif?OpenElement&1420045603dt.                                              

         a.   Utiliser la monotonie de f sur [ 1 ; a ] pour montrer que :

0 £ I1 (a) £ http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image017.gif?OpenElement&1420045603.                                                                               (0,5 pt)

         b.   Etudier le sens de variation de la fonction t http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image018.gif?OpenElement&1420045603 sur [ 1 ; + ¥ [ . En déduire que pour tout t ³ 1, http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image019.gif?OpenElement&1420045603– t – 1 ³ e – 2.                                                                  (1 pt)

         c.   Montrer alors que 0 £ In (a) £ http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image020.gif?OpenElement&1420045603.                                                    (0,5 pt)

         d.   Montrer que la suite (In (a)) est convergente. Préciser sa limite.                        (1 pt)

2.       Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a + b = 1.                             

         a.   En remarquant que  f (x) ³ – ln 2, pour tout x Î ] 0 ; 1 [ , montrer que : a ln http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image021.gif?OpenElement&1420045603ln http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/3EBA942C6A880F00C1257A29005491CB/$FILE/image022.gif?OpenElement&1420045603 £ ln 2.                                                                                   (0,5 pt)

         b.   Pour quelles valeurs de a et b, la dernière inégalité est–elle une égalité ?           (0,5 pt)


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 9:40 AM
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