Mathématiques

MT C 1999

MATHEMATIQUES - Série C - SESSION 1999

 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

N.B. : Les DEUX Exercices et le Problème sont obligatoires.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 

EXERCICE - I (20 points)

 

Une urne contient 3 jetons blancs et n jetons rouges (n Î IN*) indiscernables au toucher.

On choisit simultanément, au hasard, deux jetons de l’urne.

1° -On appelle « succès » l’obtention de deux jetons blancs.

Calculer, en fonction de n, la probabilité pn d’un succès et déterminer pn.(5 points)

2° -On appelle « gain » l’obtention de deux jetons de même couleur.

Calculer, en fonction de n, la probabilité qn d’un gain et déterminer qn.(5 points)

3° -a)Trouver une solution particulière (u, v) de Z x Z, de l’équation entière d’inconnues

(x , y) définie par : 5x – 4y = 1.(1 point)

b)            En déduire une solution particulière (x0 , y0) de Z x Z de l’équation :

5x – 4y = 6 (1).(2 points)

c)             Montrer alors que 5(x – x0) – 4(y - y0) = 0.

En déduire que x – x0 et y - y0 sont divisibles par 4 et 5 respectivement. (3 points)

4° -a)Donner les solutions générales de l’équation (1).(2 points)

b)Trouver dans ZxZ les solutions (x, y) de (1) vérifiant : -18 £ x £ 0 et -24 £ y £ 0.(2 points)

 

 

EXERCICE - II (20 points)

 

ABC est un triangle rectangle isocèle tel que (, ) = [2] .

I, J et K sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].

r est la rotation de centre I et d’angle de mesure.t est la translation de vecteur = .

f = rot et g = tor.

1°-a)Montrer que = et = . Montrer que AKIJ est un carré.

En déduire l’image de K par t et celle de J par r.(3 points)

b)            Déterminer l’image de K par f et celle de J par g.

En déduire la nature et le éléments caractéristiques de f et g.(4 points)

c)Déterminer l’image de A par go(f –1). Caractériser alors cette transformation.(2 points)

2°-Utiliser les méthodes de décomposition de r et t en deux symétries orthogonales pour retrouver go(f -1). (4 points)

3°- a) Tracer les cercles C et C de diamètres respectifs [A B] et [A C].(1 point)

b)            Soit r la rotation de centre I et d’angle de mesure .

Soit M un point de C et on pose M = r (M). Montrer que C est l’image de C par r ’.

Construire M. (1 point)

c)             M étant distinct de I, les droites (IM) et (IM) recoupent respectivement

C en N et C en N. Montrer que N est l’image de N par r . (2 points)

d)On construit les carrés MIMP et NINQ. Montrer que les points P et Q sont respectivement les images des points M et N par une similitude directe S dont on précisera centre, rapport et angle. (2 points)

e) En déduire les ensembles décrits par les points P et Q lorsque M décrit C. (1 point)

 

 

PROBLEME (60 points)

 

Soit f la fonction définie sur IR par  , pour tout x Î IR  .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,) d’unité 2cm.

Les parties A et B sont largement indépendantes.

PARTIEA

 

1°-a)Montrer que f et dérivable sur IR et calculer f fonction dérivée de f.(3 points)

 

b)En effectuant le changement de variable t = –u, montrer que f est une fonction impaire.

Etudier les variations de f sur le domaine d’étude [0, +[.(4 points)

 

2°-a)Montrer que pour tout t ³ 0, on a : < e–t. (1 point)

b)En déduire que pour tout x ³ 0  : f (x) £ 1.(1 point)

 

c)Montrer que f admet une limite finie l, en +, avec l £ 1.(1 point)

(On ne cherchera pas à calculer l).

d)Tracer (C ), (on prendra l = pour la construction).(6 points)

 

3°-Soit g la fonction définie sur ]0 ; [  par g(x) = ln (tanx), pour tout x Î ]0 ; [ où

ln désigne la fonction logarithme népérien.

a)Montrer que g est dérivable sur ] 0, [ , calculer g fonction dérivée de g

et dresser le tableau de variation de g. (3points)

 

b)            Montrer que g réalise une bijection de ] 0 ; [ vers un intervalle J

que l’on déterminera. On note g–1 la réciproque de g.(2 points)

 

c)Tracer les courbes représentatives de g et g–1 sur le même repère que (C ).(6 points)

 

4°-Soit H une fonction définie sur ] 0, [ par H(x) = (fog)(x), pour tout x Î ] 0 ; [ .

 

a)            Montrer que H est dérivable sur ] 0, [ et que sa dérivée H est une fonction

constante.(3 points)

 

b)Montrer alors que pour tout x Î ] 0 ; [ : H(x) = x – .(5 points)

 

 

c)En déduire que : . (On remarquera que = tan ). (5 points)

 

 

PARTIEB

Soit la suite (Un)nÎIN définie par , pour tout nÎIN.

1°-a)Utiliser la définition du terme Un pour montrer que : pour tout pIN,

U2p + U2p+2 = .(6 points)

 

b)Calculer U0 et U2.(3 points)

c)Montrer que pour tout nIN : Un ³ 0.

En déduire que pour tout n IN  : 0 £ U2n £.

Calculer alors U2n.(6 points)

2°-a)Vérifier que pour tout p IN  : (–1)PU2p + (–1)PU2p+2 = .(1point)

b)            En déduire que :

(–1)n–1U2n =.(2 points)

c)             Soit Sn =

que l’on écrit Sn = , n IN  *.

Montrer, en utilisant 2°-b), que : = .(2 points)

 


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 9:42 AM
Skip Annales du Bacc

Annales du Bacc

Skip Nouvelle version

Nouvelle version