Mathématiques

MT A 2004

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2004

 

MATHEMATIQUES    –  Série : A

 

N.B. : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

         - Machine à calculer autorisée.

 

EXERCICE  1  (5 points)                                                                        corrigé

Soit la suite arithmétique (Un) n Î IN*  définie par la donnée des deux termes U1  = -2 et U20  = 55.

1°)   Calculer la somme  S = U1 + . . . . . . + U20                                                     (0,5 pt)

2°)   Déterminer la raison r de cette suite.                                                            (1 pt)

3°)   Exprimer Un en fonction de n.                                                                      (0,5 pt)

4°)   Pour tout n élément de IN*. On pose Vn  = e3n-5

a/ Calculer V1 et V2.                                                                                                                                                                               (0,5+0,5pt)

b/ Montrer que (Vn) n Î IN*  est une suite géométrique dont on précisera la raison q.                                                                                                           (1 pt)

c/ Exprimer la somme  Tn = V1 + V2 + . . . . + Vn   en fonction de  n.                   (1 pt)

 

EXERCICE  2  (5 points)                                                                        corrigé

N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Une trousse contient douze stylos de même marque, indiscernables au toucher : 3 rouges, 4 verts, 3 bleus et 2 noirs.

1°)   Un élève prend au hasard un stylo de la trousse. Chaque stylo a la même probabilité d’être tiré. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Obtenir un stylo rouge »                                                            (0,5 pt)

B : « Obtenir un stylo vert ou un stylo noir ».                                       (0,5 pt)

2°)   On remet la trousse à sa condition initiale. Un autre élève tire au hasard et simultanément deux stylos de la trousse. On suppose que les tirages sont équiprobables.

Evaluer la probabilité de chacun des événements suivants :

C : « Les deux stylos tirés sont de même couleur »                                (0,5 pt)

D : « Obtenir deux stylos de couleurs différentes ».                               (1 pt)

3°)   On remet la trousse à sa condition initiale. Un troisième élève tire successivement et sans remise trois stylos de la trousse. On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables.

a/ Déterminer le nombre de cas possibles.                                                      (0,5pt)

b/ Déterminer les probabilités des événements suivants :

E : « Obtenir trois stylos de même couleur »                                         (1 pt)

F : « Obtenir aucun stylo vert ».                                                        (1 pt)

 

PROBLEME               (10 points)                                                                      corrigé

On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle ] 0, + ¥ [ par :

f(x) = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image001.gif?OpenElement&1420045937.

On note par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image002.gif?OpenElement&1420045937) (unité : 2 cm).

1°)   a/   Calculer f ’(x) pour tout  x Î ] 0, + ¥  [ .                                                  (1 ; 1)

b/   Etudier le signe de f ’(x) suivant les valeurs de x.                                      (0,5 ; 0,5)

2°)   Calculer http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image003.gif?OpenElement&1420045937.                                                                                        (0,5 ; 0,25)

3°)   a/   Montrer que f(x) peut s’écrire : f(x) =  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image004.gif?OpenElement&1420045937 pour x  Î ] 0, + ¥  [.     (0,5 ; 0,25)

b/   En admettant que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image005.gif?OpenElement&1420045937.  En déduire  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image006.gif?OpenElement&1420045937.                               (0,5 ; 0,25)

4°)   Dresser le tableau de variation de f.                                                             (1 ; 1)

5°)   Compléter le tableau des valeurs ci-dessous :                                                (1 ; 1)

 

x

http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image007.gif?OpenElement&1420045937

1

2

e

f (x)

 

 

 

 

 

6°)   a/   Calculer f ’’(x) pour tout x Î ]0, +¥[ et étudier son signe sur l’intervalle ]0, + ¥[.                                                                                                        (1 ; 0,5)

b/   En déduire que le point  I  d’abscisse 2 est un point d’inflexion de (C ).          (0,5 ; 0,5)

c/   Trouver une équation de la tangente (T ) à  (C ) en  I.                              (1 ; 0,5)

7°)   a/   On admet que http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image008.gif?OpenElement&1420045937. Quelle conclusion peut-on en tirer sur la courbe (C ) ?                                                                                                         (0,5 ; 0,25)

b/   Tracer  (C ) et  (T ).                                                                                                                                         (1,5+0,5 ; 1,5+0,5)

 

Pour A2 seulement

 

8°)   Soit la fonction G définie sur l’intervalle ] 0, + ¥ [  par G(x) =  x  ln x  -  x

a/   Calculer G ’(x) pour tout x élément de l’intervalle ] 0, + ¥ [ .                       (     ; 0,25)

  Et en déduire une primitive de f sur l’intervalle  ] 0, +¥ [.                          (     ; 0,75)

b/   Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses (x’Ox) et les droites d’équations respectives  x=1 et x=e.                            (     ; 1)

On donne :  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/E140C17719080898C1257A290053BD7F/$FILE/image009.gif?OpenElement&1420045937 ≈ 0,36 ;  ln 2  ≈  0,7 ;  e  ≈  2,7.

 


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 10:18 AM
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