Mathématiques

MT A 2002

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2002

 

mathematiques    –  Série : A

 

N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

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EXERCICE 1                ( 4 points )                                                                                          corrigé

            On considère la suite numérique (Un )n IN définie par :

                       

1°) -      Calculer les quatre premiers termes de cette suite.                                                                     ( 1 pt   )   

2°) -      a) Montrer que (Un )n IN est une suite arithmétique dont on précisera la raison.                             ( 1 pt   )

            b) Exprimer Un en fonction de n.                                                                                                         ( 0,5 pt  )

            c) Quel est le sens de variation de (Un )n IN ?                                                                          ( 0,25 pt)

3°) -      Pour tout n IN, on pose Vn = e2(1 – n).

            a) Montrer que (Vn)n IN est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.   ( 1 pt   )   

            b) Calculer la limite de Vn quand  n   + .                                                                            ( 0,25 pt)

 

EXERCICE 2                ( 4 points )                                             corrigé

            Le tableau suivant indique l’évolution de l’effectif d’un Collège au cours des huit dernières années.

(xi désigne le rang de l’année et yi l’effectif correspondant).

 

Année

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

xi

1

2

3

4

5

6

7

8

yi

370

360

380

410

420

440

450

470


1°) -      Représenter le nuage de points Mi (xi, yi) associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. 

- Sur l’axe des abscisses, prendre 1 cm pour unité graphique.                                     ( 0,75 pt )

- Sur l’axe des ordonnées, placer 350 à l’origine puis choisir 1 cm pour représenter 10 élèves.

2°) -      Calculer les coordonnées du point moyen G.                                                                          ( 0,5  pt )

3°) -      On note (S1) la série statistique allant de 1994 à 1997 et (S2) la série allant de 1998 à 2001.

a) Déterminer les coordonnées des points moyens respectifs G1 et G2 des séries (S1) et (S2).  (0,5 + 0,5 pt)

b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par G1 et G2.                           ( 0,75 pt )

c) Construire cette droite (D). Que représente-t-elle ?                                                       (0,25 + 0,25 pt)

d) En déduire une estimation de l’effectif du collège en 2003.                                                  ( 0,5 pt  )

 

 

PROBLEME :               ( 12 points )                                            corrigé

On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = 2 ln x (ln x – 1). On note (C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O ; )  d’unité 1 cm.

1°) -      a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f.                                                               ( 0,5 pt )

b) Calculer les limites aux bornes de Df.                                                                  (0,5 + 0,5 pt)   

c) Montrer que pour tout x Df, f ’(x) = (2 ln x – 1).                                                       (  1  pt  )

d) Dresser le tableau de variation de f.                                                                            (  1  pt  )

2°) -      a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C ) avec l’axe (x’Ox).                       (  1  pt  )

b) Donner une équation de la tangente (T) à (C ) au point d’abscisse  e.                            (  1  pt  )

c) Montrer que (C ) admet un point d’inflexion I dont on déterminera les coordonnées.      (  1  pt  )

3°) -      a) Etudier les branches infinies de (C ) (on admet que  = 0).                     (0,25 + 0,25 pt)

b) Calculer f (e–1) et f (e2).                                                                                                    ( 0,5 + 0,5 pt )

c) Construire (T) et (C ).                                                                                            ( 0,5 + 1,5 pt )

4°) -      Soit F la fonction définie par F(x) = 2x (ln x)2 – 6x ln x + 6x.

a) Montrer que F est une primitive de f sur Df.                                                                  (  1  pt  )

b) Calculer, en cm2, l’aire A  du domaine plan limité par(C ), l’axe (x’Ox) et les droites d’équations x = 1  et  x = e.                                                                                                           (  1  pt  )

        On donne :  ≈  0,4 ;  ≈  1,7 ;  e  ≈  2,7 ;   ≈  4,5 ;  e2  ≈  7,4.


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 10:29 AM
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