Mathématiques

MT A 1999

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 1999

 

mathematiques    –  Série : A

 

N.B. : - Les Deux Exercices et le Problème sont obligatoires.

- - - - - - - - -

EXERCICE    I                (4 points)

 

On considère la suite (Un) définie par son premier terme U0 = 2 et la relation de récurrence : Un+1http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/AB8864490A3931C9C1257A290053BD9D/$FILE/image001.gif?OpenElement&1419954471    pour tout entier naturel n.

1 -     Calculer  U1  et  U2.                                                                           (0,5 point)

2 -     Soit une deuxième suite (Vn) définie par  : Vn = 3Un + 5, pour tout n ÎIN.

a -     Démontrer que (Vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison  q 

et le  premier terme V0.                                                           (1,5 point)

b -     Exprimer Vn, puis Un en fonction de n.                                      (0,75 point)

c -     Calculer  http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/AB8864490A3931C9C1257A290053BD9D/$FILE/image002.gif?OpenElement&1419954471 Un.                                                                   (0,25 point)

3 -     a -     Calculer  Vn+1Vn  en fonction de n.                                        (0,5 point)

b -     En déduire que la suite (Vn ) est décroissante.                          (0,5 point)

 

 

EXERCICE    II               (4 points)

 

Le tableau suivant donne la répartition des 80 employés d’une entreprise en fonction de leur salaire mensuel (en milliers de francs malgaches FMG). Soit n un entier naturel non nul.

 

Salaire

[50 ; 150[

[150 ; 250[

[250 ; 350[

[350 ; 450[

[450 ; 550[

[550 ; 650[

Effectifs (ni)

n

26

20

4

4

2

 

Dans les calculs qui suivent, on utilisera les centres  xi  des classes, où 1£ i £ 6.

1-                Déterminer l’effectif n des employés ayant un salaire mensuel inférieur à 150.000-FMG.                                                                                               (0,5 point)

On prendra  n = 24  dans tout ce qui suit.

2 -     Dans un repère orthogonal du plan, représenter le nuage de points Mi de coordonnées    ( xi, ni ), 1 £  i  £  6.                                                     (0,5 point)

On prendra comme unités :      1cm sur l’axe des abscisses pour  100.000FMG.

1cm sur l’axe des ordonnées pour 5 employés.

3 -     a.       Calculer les fréquences relatives de ces six classes.                   (2 points)

b.                 Calculer la moyenne des salaires, exprimée en francs, dans cette entreprise.                                                                                                (1 point)

 

 

 

 

PROBLEME                   (12 points)

 

Soit  f  la fonction numérique de la variable réelle x définie sur  [0, +¥[ par :  f(x) =  - x + 1 - e - x.

On note (C ) la courbe représentative de f dans un plan  P  muni  d’un repère orthonormé  R  = (O, http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/AB8864490A3931C9C1257A290053BD9D/$FILE/image003.gif?OpenElement&1419954471) d’unité graphique 2cm.

1 -     a.       Déterminer la limite de  f  en  + ¥.                                            (1 point)

b.       Montrer que la droite (D ) d’équation y = -x + 1 est asymptote à la courbe (C ).                                                                                        (1 point)

2 -     a.       Montrer que pour tout réel x ³ 0, f (x) = -1 +  ex , où f ’ désigne la fonction

dérivée de f.                                                                            (1 point)

b.       En déduire le tableau de variation de f sur [0, + ¥[.                  (1 point)

3 -     a.       Compléter le tableau des valeurs suivant :                               (1 point)

                                                                                                                 

x

0

1

2

3

4

f (x)

 

 

 

 

 

 

b.       Ecrire l’équation de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse x0 = 0. (1 point)

c.                  Représenter graphiquement les droites (D ), (T ) et la courbe (C ) dans  P.

(3 points)

4 -     Pour tout  x ³ 0, on pose  F(x) = http://192.168.0.21/LotusQuickr/accesmad/PageLibraryC1257873003F7B66.nsf/h_Index/AB8864490A3931C9C1257A290053BD9D/$FILE/image004.gif?OpenElement&1419954471 + x + e–x.

a.       Montrer que F est une primitive de f.                                        (2  points)

b.       En déduire, en cm2, l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ),

l’axe des abscisses  x ox et les deux droites d’équations x = 0 et x = 1.     (1  point)

 

On donne :    e–1  =  0,36  ;    e–2  =  0,13  ;        e–3  =  0,05.

 


Last modified: Tuesday, 2 February 2016, 11:39 AM
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