Première année

Moment statique d’une section -Centre de gravité définition et méthode de détermination de G (html)

FPI

NIVEAU : 1ère, 2ème, 3ème Année BEP

BACC PRO

SECTEUR : INDUSTRIEL

FILIERE : STRUCTURES METALLIQUES

OPTION : METAUX EN FEUILLES

Référence sous module : SMF/T/08-06

Intitulé du sous module : AXES PRINCIPAUX D’UNE SECTION SIMPLE

Objectif intermédiaire : A l’issue du sous module de formation, l’apprenant doit être capable de :

CONNAITRE la définition des axes principaux d’une section simple.

Réf. : SMF/T/08 - 06

INDEXATION

UNITES DE FORMATION

DUREE

UF/T/08 – 06 – 01

UF/T/08 – 06 – 02

UF/T/08 – 06 – 03

Moment statique

Moment quadratique

Moment quadratique polaire

 

 

 

TOTAL

10 h

 Remarque: toutes ces notions sont développées dans le document ci-dessous et les suivants.

 Détermination du centre de gravité d’une section

I- MOMENT STATIQUE d’une section :

En résistance des matériaux, le moment statique est une grandeur physique qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe. Il intervient notamment comme ci-dessous dans le calcul de la position du centre de gravité  mais aussi des contraintes de cisaillement (lors d’une flexion). Il a la dimension d'un volume (m3 dans le système international d'unités S.I).

Le moment statique  d'une section de densité homogène, par rapport à un axe \Delta (noté  QD )  est égal au produit de l'aire de cette section par la distance d  de son centre de gravité G à  l'axe.

QD= S.d  (unité SI=mxm2=m3)

Une conséquence importante de cette définition  est que le moment statique d'une section de densité homogène, par rapport à un axe passant par son centre de gravité, est nul.

II- DEFINITIONS : centre de gravité et centre de masse 

Considérons un solide de masse m. Soit à déterminer la position de son centre de gravité G.

Soient XG , YG, ZG  les coordonnées de G  relatives à un repère rectangulaire Oxyz.

Décomposons le solide en solides élémentaires de masse respective m1 ,m2 m3…et de centre de gravité respectifs : G1, G2, G3  etc…

Par définition G  centre de gravité est le barycentre des poids des solides élémentaires

Ce qui s’écrit en mathématiques:

Le champ de pesanteur étant uniforme pour l’ensemble  du solide, la relation peut être simplifiée en éliminant g :

Ce qui revient à dire que G est aussi le barycentre des masses.

C’est pourquoi G dans ce cas s’appelle aussi : centre de masse.

Remarque : la distinction entre centre de gravité et centre de masse est nécessaire lorsque le solide est plongé dans un champ de pesanteur qui n’est pas uniforme. C’est le cas pour un objet de hauteur très importante car comme on le sait g diminue avec la hauteur. Par exemple pour un édifice de 300m de haut les deux points peuvent être éloignés de quelques mm ! Dans notre étude les deux points sont évidemment confondus et il n’y a donc pas lieu de faire une distinction entre centre de masse et centre de gravité.

III- Formules générales donnant la position du centre de gravité d’une section plane d’aire S d’une poutre :

La section peut être décomposée en éléments de forme géométrique simple (comme ici des rectangles) de section S1, S2, S3 dont les centres de gravité G1, G2, G3…sont connus.

Dans la formule précédente les masses sont remplacées par les sections:

G centre de gravité est le barycentre des différents points G1, G2, G3 …affectés des coefficients S2, S2, S3….

En  appelant XG  et YG  les composantes du vecteur OG, Xi et Yi les composantes des différents vecteurs OG1, OG2…etc, on obtient les relations algébriques.

soit

Attention certaines sections  peuvent aussi résulter d’une soustraction d’éléments simples comme nous le verrons dans l’exemple qui suit. C’est pourquoi le terme au numérateur peut être une somme algébrique suivant le choix des éléments..

IV- Position du centre de gravité de quelques sections simples :

Source :http://math.15873.pagespro-orange.fr/page9.htm

 

 

IV- Méthode de détermination du centre de gravité d’une section composée:

Source :http://math.15873.pagespro-orange.fr/page9.htm

Soit à déterminer le centre de gravité de la section ci-dessous :

 

 

Remarque : L’aire de la section S est ici égal à S1+S2+S3+S4-S5. Le moment statique de l’élément 5 doit donc être retranché.

Les coordonnées du centre de gravité  x et y sont  donc égaux à la somme algébrique des moments statiques des sections élémentaires par rapport aux axes Ox et Oy divisée par l’aire totale de la section S

 

Last modified: Thursday, 21 July 2016, 8:09 AM
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