CALCUL  DE  PROBABILITES

 

I. DENOMBREMENT   (rappel)

 

L'analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets.

1.1. Arrangement

a) Définition : E est un ensemble de n éléments et  p un entier naturel . Un  arrangement de p éléments de E est une liste ordonnée de p éléments 2 à 2 distincts choisis parmi les n éléments de E.

 

Remarque : 2 arrangements de p éléments de E diffèrent l'un de l'autre

    - soit par la nature de p éléments choisis,

    - soit par l'ordre de ces éléments.

Exemple : Soit E={a,b,c,d}. Considérons les arrangements des 4 lettres pris 3 à 3. On a  (a,b,c) (a,b,d),  (a,b,c)  (b,a,c).

 

b) Nombre d'arrangements :  

On peut considérer que tout arrangement s'obtient en plaçant p objets pris parmi n objets dans p cases en mettant au plus un objet dans chaque case.

 

Il y a n(n - 1)...(n-p+1) façons de placer les p objets.

 

Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble de n éléments (p  n) est :

= n (n - 1)...(n-p+1)

 

ex. : E ={a,b,c,d}. Le nombre d'arrangements des éléments de E pris 3 à 3 est =4.3.2 = 24

 

1.2. Permutation. Factorielle

a) Définition : E est un ensemble de n éléments. Une permutation des éléments de E est un arrangement des n éléments de E.

 

Remarque : 2 permutations des éléments de E diffèrent l'une de l'autre par l'ordre des éléments.

Exemple : (a,b,c,d) (b,a,c,d).

 

Le nombre de permutations, noté Pn, d'un ensemble de n éléments est :

 Pn== n (n-1)...3.2.1.

 

b) Factorielle : n est un entier naturel, on désigne par n! (on lit "factorielle n") l'entier défini par :

             n! = 1.2.3...(n-1).n pour n g 0.

             Par convention 0!= 1.

 

- On a n ! = n . (n-1) !

- Le nombre de permutation de n éléments est Pn = n!

- Autre écriture de  

-

 

1.3. Combinaison

 

a) Définition : E est un ensemble de n éléments et un entier naturel (p [ n). Une combinaison de p éléments des n éléments de E est un sous-ensemble de p éléments de E.

 

Remarque : 2 combinaisons de n éléments pris p à p diffèrent l'une de l'autre par la nature des éléments.

Exemple :  E={a,b,c,d}. Considérons les combinaisons des 4 lettres pris 3 à 3. On a  {a,b,c}  (a,b,d),  {a,b,c} = {b,a,c}.

b) Nombre de combinaisons :

On obtient tous les arrangements de n objets pris p à p :

-     en formant toutes les combinaisons de p éléments,

-     en permutant dans chacun des  combinaisons, les p éléments qui les constituent, ce qui peut se faire de p! façons.

 

 

Le nombre de combinaisons de p éléments des n éléments d'un ensemble E est :

            

c) Propriétés

pour tout n , p (p £ n)           ;

 

1.4 - Tirages

Nombre de façons de tirer p objets parmi n objets (p £ n).

-     Tirage simultané : tirer simultanément p objets parmi n objets, c'est choisir une partie de p objets. On ne tient pas compte de l'ordre. Il y a  cas possibles.

-     Tirage successif sans remise : tirer successivement sans remise p objets parmi n objets, c'est choisir un arrangement de p objets.  Il y a  cas possibles.

-     Tirage successif avec remise : d'une urne contenant n boules, on en tire une première boule b1 parmi les n boules, que l'on remet dans l'urne ; puis, on tire une seconde boule b2 parmi les n boules,  que l'on remet dans l'urne ; … puis, on tire une p-ième boule. Les boules b1, b2, …, bp ne sont pas nécessairement distinctes. Il y a n p cas possibles.

 

Exemple : Un boîte contient 6 boules dont 4 noires et 2 rouges.

On tire au hasard et simultanément 3 boules de la boîte.

1)    Calculez le nombre de cas possibles.

2)    Calculez le nombre de tirages favorables à l'événement :

    A : " avoir exactement 1 rouge",

    B : " avoir des boules de même couleur",

    C : " avoir au moins 1 rouge"

3)    Reprenez les questions 1- et 2- pour des tirages

-           successifs sans remise,

-           successifs avec remise.

 

II PROBABILITES

 

2.1- Introduction

Il existe deux manières d'introduire la notion de probabilité.

- La probabilité "subjective" d'un événement est un nombre qui caractérise la croyance que l'on a que cet événement est réalisé avec plus ou moins de certitude. Cette croyance peut atteindre deux extrêmes : certitude que l'événement est réalisé (probabilité 1) et certitude qu'il n'est pas réalisé (probabilité 0). La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

- La probabilité assimilée à une fréquence : on ne définit alors la probabilité qu'à partir d'expériences indéfiniment renouvelables. La probabilité d'un événement est la fréquence d'apparition de cet événement. C'est un nombre compris entre 0 et 1 ; 0 signifiant que l'événement n'apparaît jamais et 1 signifiant qu'il apparaît chaque fois qu'on renouvelle l'expérience.

Les deux positions esquissées ci-dessus donnent deux notions qui fonctionnent de la même manière.

 

2.2- Vocabulaire des événements

·       Une expérience est dite aléatoire si on ne peut pas prévoir le résultat avant sa réalisation. Exemple : lancer d’une pièce de monnaie, d’un dé.

·       A une expérience aléatoire, on associe l’ensemble (ou univers) des résultats possibles.

Exemples : - pour le lancer d’une pièce de monnaie, l’univers des résultats possibles est  = { pile, face}  ou est  = { pile, face, tranche}.

- Lancer d’un dé normal est  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

·       Les résultats possibles i.e. les éléments de  sont appelés les événements élémentaires.

·       Un événement est un sous-ensemble de . Par exemple A = {1,3,5} est un événement.

·       Réunion d’événements : si A et B sont deux événements, ‘’A ou B’’ est réalisé si et seulement si l’un au moins des événements A et B se réalisent. On note A È B

·       Intersection d’ événements : ‘’A et B’’ est réalisé si et seulement A et B sont réalisés simultanément. On note A Ç B.

·       Evénement contraire  : c’est le complémentaire de A dans .

 comprend les événements élémentaires qui ne sont pas dans A.

Par exemple, dans le cas d’un dé si A = {1, 3, 5} alors  = {2, 4, 6}.

·       Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. C’est l’ensemble vide.

·       Evénement certain : c’est  . L’événement contraire de  est .

·       Evénements incompatibles ou disjoints : deux événements A et B sont dits incompatibles lorsqu’ils ne peuvent se réaliser simultanément.

A et B incompatibles Û A Ç B = Æ.

Par exemple, 2 événements contraires sont incompatibles.

 

2.3 - Probabilités d’événements

·       Considérons une expérience aléatoire à laquelle est associée un ensemble fini  de n résultats possibles. (Card = n).  ={e1, e2,...,en }.

- la probabilité d’un événement A, notée p(A), est telle que p(A) ≤ 1.

- p() = 1

- si A Ç B = Æ alors p(A È B) = p(A) + p(B)

 

·       Evénements équiprobables

- On dit qu'il y a équiprobabilité des événements lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés.

 

- Notons pi la probabilité de l’événement élémentaire {ei}. Les événements élémentaires sont deux à deux disjoints et leur réunion est  

alors p1 + p2 + ... + pn = 1.

- Dans le cas où ces événements sont équiprobables, p1 = p2 =...= pn=

- Considérons un événement A formé de m événements élémentaires, on a Card A = m. La probabilité de A est p(A) =  ++...+=

 

 est l’ensemble fini des résultats possibles associés à une épreuve. Dans le cas où tous les résultats sont équiprobables, la probabilité d’un événement A est tel que :

 

Exemple :  Une urne contient 10 boules dont 5 rouges, 3 blanches et 2 noires. La probabilité de tirer une boule blanche est

 

2.4 - Propriétés d’une probabilité

 

·       0 £ p(A) £ 1

·       Si A et  sont deux événements alors p() = 1- p(A).

Démonstration: On a A È =   et A Ç B = Æ alors p(A È ) = p(), donc p(A) + p() = 1 et p() = 1- p(A).

 

·       Propriétés

- Pour deux événements A et B, p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B)

- Dans le cas d’événements équiprobables de  on a :

Card(A È B) = Card(A) + Card(B) - Card(A Ç B) et

·       Evénements indépendants

On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque p(A Ç B) = p(A).p(B).

 

Ne confondez pas ‘’événements indépendants’’ et ‘’événements incompatibles’’