DENOMBREMENT (Rappel)

 

 

Les ensembles considérés dans ce chapitre ont un nombre fini d'éléments.

 

1 - Cardinal d'un ensemble

Le cardinal d'un ensemble fini E est le nombre d'éléments de E. On le note Card E.

 

1.1 - Réunion de deux ensembles disjoints

A et B sont deux sous-ensembles d'un ensemble fini E.

A et B sont disjoints si A Ç B = Æ.

Si A et B sont disjoints alors card (A È B) = card A + card B.

On appelle complémentaire de A dans E l'ensemble noté ou C_E A des éléments de E qui n'appartiennent  pas à A.

Si A est une partie de E, alors  card  = card E - card A.

 

1.2 - Réunion de n sous-ensembles disjoints deux à deux

Soit l'ensemble fini E = A₁ È A₂ È .. È A_n. Si A₁, A₂, ... A_n sont deux à deux disjoints, alors : card E = card A₁+ card A₂ + ... + card A_n.

 

1.3 - Réunion d'ensembles

Quels que soient les ensembles finis A et B : card (A È B) = card A + card B - card (A Ç B).

 

 

2 - Produit cartésien

2.1 - Définition : Soient E et F deux ensembles finis. Le produit cartésien E x F est l'ensemble des couples (x ; y) où x est élément de E et y est élément de F.

Exemple : Soit E= {1 ; 2 ; 3 ; 4}  et F = {a ; b ; c}

On peut représenter le produit cartésien par le tableau :

 

2.2 - Cardinal du produit cartésien

Pour deux ensembles finis E et F  :  card (E x F) = card E x card F.

 

Plus généralement, on démontre que :

card ( E₁ x E₂ x ... x E_p) = card E₁ x card E₂ x ... x card E_p.

 

2.3 - Nombres de p-uplets ( ou p-listes) de E

Définition : Soit E un ensemble non vide de cardinal n. Un p-uplet d'éléments de E est une liste ordonnée (a₁, a₂, ... , a_p) de p éléments de E (non nécessairement  distincts)

Une p-liste de E est un élément de E ^p = E x E x...x E, produit cartésien de p ensembles égaux à E.

Un p-uplet est donc une suite de longueur p, ou mot de longueur p d'éléments de E.

Exemple : E = {a ; b ; c}

(a ; b), (a ; a), (c ; b) sont des 2-listes (ou couple) de E.

(a ; a ; a ; b), (a ; c ; b ; b) sont des 4-listes de E.

 

Soit E un ensemble à n éléments et soit p un entier naturel non nul. Le nombre de p-uplets de E est n ^p.

 

2.4 - Ensembles des parties d'un ensemble

Soit E = {a ; b ; c ; d}

Pour dénombrer les parties de E on peut utiliser un arbre :

 

Le nombre des parties d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ.

 

 

3 - Arrangements - Combinaisons

3.1 - Nombre d'arrangements

Définition : Soit E un ensemble fini et p un entier naturel non nul ( p £ card E).

Un arrangement de p éléments de E est une p-liste d'éléments de E deux à deux distincts.

Remarque :

Deux arrangements à p éléments de E diffèrent :

- soit par la nature de leurs éléments

- soit par l'ordre de leurs éléments.

Soit Card E = n, le nombre d'arrangements à p éléments de E, noté , est

= n. (n-1)....(n-p+1).

 

Définition : On appelle permutation de E un arrangement à n éléments de E.

Le nombre de permutations de E est : = n. (n-1)....3.2.1.

 

Définition : Soit n un entier naturel. On appelle factorielle n l'entier naturel noté n! défini par :

0 ! = 1

n ! = n. (n-1) . ... 3.2.1

 

3.2 - Nombres de combinaisons

Définition : Soit E un ensemble fini et p un entier naturel non nul ( p £ card E).

Une combinaison à p éléments de E est une partie à p éléments de E.

Remarque : Deux combinaisons à p éléments de E diffèrent par la nature de leurs éléments.

 Le nombre de combinaisons à p éléments de E, noté , est : .

3.3 - Propriétés de  et

 ;     

 ;     

   pour 0 £ p £ n

  pour 0 £ p < n

 

4 - Triangle de Pascal

	p n 0 1 2 3 4 5 ... 0             1           2         3       4     5   ... ... ... ... ... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En remplaçant par sa valeur :

 

 

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1

 

 

 

 

 

 

Formule du binôme de Newton

Soient a et b deux nombres réels ou complexes. On a :

a + b     =  1a  + 1b

(a + b)² =  1a² + 2ab    + 1b²

(a + b)³ =  1a³ + 3a² b  + 3ab² + 1b²

 

Les coefficients de produits des puissances de a et b sont ceux du triangle de Pascal.

On démontre par récurrence que : pour tous nombres réels ou complexes a et b et pour tout entier naturel n :

 

Ou encore :

 

 

Remarque : Soit E un ensemble à n éléments.

 est le nombre des parties de E ayant 0 élément.

 est le nombre des parties de E ayant 1 élément.   ...

 est le nombre des parties de E ayant p éléments.

Leur somme, nombre des parties de E, est égale à 2 ⁿ.

.

D'où :