PROBABILITES (loi binomiale)

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 1

Combien de fois faut-il lancer un dé normal pour amener un ou plusieurs six avec une chance sur deux au moins ?

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 2

a. On lance deux dés, puis on totalise les points marqués. Quelle est la probabilité d’avoir un total supérieur ou égal à 8 ?

b. Au bout de 20 lancers, quelle est la probabilité d’avoir obtenu 10 fois exactement un total supérieur ou égal à 8 ?

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 3

A chaque tir, la probabilité pour qu’un tireur touche la cible est 0,7. Il tire trois fois de suite. Les trois tirs sont supposés indépendants. Quelles sont les probabilités :

p1 pour qu’il touche la cible trois fois ?

p2 pour qu’il touche la cible deux fois exactement ?

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 4

Un appareil, fabriqué en très grande série, peut être défectueux à cause de deux défauts désignés par A et B. Le pourcentage des appareils présentant le défaut A est de 10%, celui des appareils présentant le défaut B est de 8%, le pourcentage des appareils présentant les 2 défauts simultanément est de 4%.

1. Un client achète un des appareils produits. Calculer :

a) la probabilité p1 pour que cet appareil ne présente aucun défaut.

b) la probabilité p2 pour qu'il présente le défaut A seulement.

c) la probabilité p3 pour qu'il présente le défaut B seulement.

2. Un 2-ième client achète 10 appareils produits. Calculer :

a) la probabilité p4 pour que les 10 appareils soient tous sans défauts.

b) la probabilité p5 pour qu'un seul des 10 appareils soit défectueux.

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 5

Une urne contient 3 boules blanches et x rouges indiscernables au toucher. On choisit simultanément et au hasard 2 boules dans cette urne. On appelle ‘’succès’’ le fait d’obtenir 2 boules blanches.

1. Trouver en fonction de x la probabilité p d’un succès.

Déterminer x pour que p=0,2.

2. On suppose dans toute la suite que x = 3.

a) On recommence 4 fois le tirage précédent en ayant remis à chaque fois les boules tirées dans l’urne. Déterminer la probabilité d’avoir au moins un succès au cours des 4 tirages.

b) Déterminer le nombre minimum n d’épreuves qu’il faut effectuer pour que la probabilité d’obtenir au moins un succès au cours de ces n épreuves soit supérieur à 0,9.

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 6

On vise un cible en lançant, de manières indépendantes, n projectiles. Chaque projectile a la probabilité p (0<p<1) d’atteindre la cible. On considère les événements suivants :

A : ‘’aucun projectile n’atteint la cible’’

B : ‘’au moins un projectile atteint la cible’’.

On note P(A) et P(B) les  probabilités de ces événements.

1. Exprimer P(A) en fonction de n et p. En déduire l’expression de P(B)

2. On souhaite avoir P(B) 0,999. On s’intéresse au nombre minimal m de projectiles à lancer pour réaliser cette condition.

Les deux questions suivantes sont indépendantes.

a) On suppose p = 0,87. Que vaut m ?

b) On suppose m = 3. Dans quel intervalle doit se trouver p ?

 

 

Organigramme : Terminateur: Exercice 7Sur une publicité, une loterie annonce : "1 billet sur 3 est gagnant. Achetez 3 billets". Le texte suggère qu'en achetant 3 billets, on est sûr de gagner.

Appelons 3n le nombre de billets mis en vente (n Î N*). On achète 3 billets. On suppose que tous les ensembles de 3 billets ont la même probabilité d'être achetés

1. Quelle est la probabilité de ne rien gagner ?

2. Quelle est la probabilité p d'avoir 1 billet gagnant sur les 3 ?

3. Pour quelles valeurs de n on a p 0,5 ?    p 0,75 ?