Ajustement linéaire

 

Lorsqu'on étudie des tableaux d'effectifs traduisant l'observation de deux caractères X et Y, quantitatifs ou qualitatifs d'une même population, le problème est de savoir si ces deux caractères sont liés ou indépendants. A priori, puisqu'on les étudie ensemble, on soupçonne qu'ils ne sont pas indépendants.

 

Dans le cas où les deux variables X et Y sont numériques, on représente chaque individu par le couple (xi, yj) où xi et yj sont respectivement les valeurs des caractères X et Y.

 

1-    Définition

 

Pour représenter graphiquement les couples (xi , yj), on marque dans un repère xOy les points de coordonnées (xi , yj). On obtient un graphique appelé nuage de points.

 

Ajuster un ensemble de points consiste à déterminer une courbe C simple "aussi proche que possible" de l'ensemble des points Mij(xi, yj).

 

Ajustement linéaire : C'est le cas où l'on peut prendre pour C une droite. Cette droite est dite droite ajustée à l'ensemble de points.

 

 

2. Ajustement linéaire graphique (ou ajustement à "main levée")

 

Théoriquement, diverses sortes d'ajustement linéaire sont possibles, le plus simple est l'ajustement graphique réalisé par le dessinateur.

 

Cette méthode consiste à placer une droite D qui semble être la plus proche possible des points, ceux-ci se répartissent à peu près également de part et d'autre de D. On détermine ensuite son équation à l'aide de deux de ses points.

Il est commode d'utiliser une règle transparente comportant des parallèles équidistantes.

Cette méthode donne un résultat approximatif qui dépend de l'opérateur.

 

 

3. Méthode de Mayer  (ou méthode des moyennes discontinues)

 

On appelle point moyen G d'un ensemble de points Mij(xi, yj), le point ayant:

            - pour abscisse la moyenne de xi :        

            - pour ordonnée la moyenne  de yj  :    

 

Méthode :

- On range le points Mij dans l'ordre croissant de leurs abscisses, et on divise la suite obtenue en 2 parties E1 et E2 d'effectifs voisins.

- On considère le point moyen G1 de E1, et point moyen G2 de E2.

La droite G1G2 est une droite ajustée. On l'appelle droite de Mayer.

- On montre qu'elle passe par le point moyen G de l'ensemble des points Mij.

 

 

Exercice : le tableau suivant indique l'évolution de 2000 à 2008 du prix moyen en milliers d'ariary d'une denrée.

 

Année (x)

2000

2001

2002

2004

2005

2006

2007

2008

Prix en milliers (y)

1,24

1,7

1,8

2,6

2,75

3,25

3,30

3,65

 

On demande de représenter le nuage de points et de tracer la droite ajustée (droite de Mayer)           

 

 

=>    Ajustement linéaire - corrigé de l'exercice   <=