Dénombrement

 

I.- GENERALITES SUR LES ENSEMBLES

 

1.    Ensemble-Elément

 

Un ensemble E est une collection d’objets appelés éléments de E telle que quel que soit l’objet a, on peut dire sans ambiguïté que a est ou n’est pas un élément de E

Si a est un élément de E, on écrit si non

 

Deux ensembles E et F sont égaux, et on écrit , s’ils possèdent les mêmes éléments.

 

On dit que E est donné en compréhension s’il est défini par une propriété caractéristique de ses éléments.

 

 Exemple :

 

On dit que E est donné en extension s’il est défini par la donnée d’une liste de ses éléments

Exemple :

 

L’ensemble vide, noté , est l’ensemble qui n’a aucun élément.

Un ensemble qui n’a qu’un seul élément est un singleton.

 

2. Partie d’un ensemble : Inclusion

Soit A et E deux ensembles

On dit que A est une partie de E (ou un sous ensemble de E ou inclus dans E) si tous les éléments de A sont éléments de E.

On écrit

()(si  alors )

            ()(x,  et )

A n’est pas inclus dans E s’il existe un élément de A qui n’est pas dans E.

 

Propriétés :

·         Quel que soit l’ensemble E

 

·         Soient A, B et C des ensembles

            Si alors

            Si  alors

 

Ensemble des parties :

 

Les parties d’un ensemble E constituent un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté :

                       

 

            

 

Propriétés :

Quel que soit l’ensemble E

 donc

·       

·       

·       

·       

 

 Si E a n éléments alors P(E) en a 2n

 

3.     Complémentaire d’une partie

 

a.                            Définition

 

Soient A et E deux ensembles

L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A est appelé complémentaire de A dans E et noté CE  A ou

 

 

Si x est un élément de E, on a :

 Et aussi   

 

b.            Propriétés

 

Soit E un ensemble, A et B deux parties de E

­       

­         ( On dit que A et  sont complémentaires (l’un de l’autre))

­       

­       

­       

 

4.     Réunion et intersection de deux ensembles

 

a.            Définitions

 

Soient A et B deux ensembles, la réunion de A et B notée est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B

 

Et l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B est l’intersection de A et B et noté

           

 

 

b.            Propriétés :

 

Quels que soient A et B

                     

 

                  

 

Si

                  

           

            Si

     Loi de Morgan :

     

          

 

 

 

5. Partition d’un ensemble

Soient E un ensemble et A1 ,A2, …An des parties de E.

            est une partition de E si les Ai sont tous non vides et si quel que soit  il existe un et un seul Ai tel que

 

            On montre que est une partition de E si

­       

­       

­       

 

Exemple :

 est- il une partition de E ?

­  

­  

­  

 est donc une partition de E

 

6. Ensemble produit

On appelle produit (cartésien) de A et B l’ensemble des couples (x ;y) tels que et . On le note :

           

 Remarque :

·         (x ; y) = (x’; y’) x = x’ et y = y’

·         (x ; y) (y ; x) sauf si x = y

 

·         Si A = B ,

 

Généralisation :

Ses éléments sont appelés des n-uplets, n-uples, n-tuples, ou n-listes

  

Si