EXERCICES- DENOMBREMENT

 

Exercice 1

 

Un produit se vend liquide ou en poudre. Un sondage fait ressortir les faits suivants :

-    le tiers des personnes interrogées n’utilisent pas la poudre ;

-    les deux septièmes des personnes interrogées n’utilisent pas le liquide ;

-    427 personnes utilisent à la fois le liquide et la poudre ;

-    le cinquième des personnes interrogées n’utilisent pas du tout le produit.

Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ?

 

Exercice 2

 

Combien existe-t-il entre 1 000 et 10 000 de nombres formés de 4 chiffres différents ?

 

Exercice 3

Démontrer que pour tous entiers naturels n et p tels que  on a :

En déduire la valeur de .

Exercice 4

9 personnes se rencontrent.

1. Quel est le nombre de poignées de mains échangées ?

2. Elles ont à leur disposition deux voitures de 5 et 4 places respectivement.

De combien de manières peut-on répartir ces 9 personnes dans les deux voitures en supposant  que n'importe laquelle de ces personnes est capable de conduire.

3. La répartition étant faite, quel est le nombre de placements possibles dans la voiture à 5 places ?

 

Exercice 5

1.-On veut choisir un chef et p exécutants parmi n personnes. Calculer le nombre de choix possibles si :

            a) on choisit le chef puis les p exécutants;

            b) on choisit les p exécutants puis le chef;

            c) on choisit (p+1) personnes parmi lesquels on désigne le chef.

 Vérifier par le calcul qu'on obtient le même nombre.

2.- Démontrer que pour tous entiers naturels p et n tels que , on a :

. En déduire la valeur de

           Exercice 6

 

1- a) Quel est le nombre de parties non vides d'un ensemble E de cardinal n?

     b) De combien de façons peut-on choisir une ou plusieurs personnes dans un groupe de six personnes ?

2- Quel est le nombre de poignées de mains échangées lorsque 10 personnes se rencontrent ?

 

Exercice 7

 E désigne un jeu de 32 cartes, A l'ensemble des as de ce jeu, B l'ensemble des cartes qui ne soient pas des as. Quel est le nombre de jeux de 2 cartes comprenant un as et une carte qui n'est pas un as ?

Exercice 8

 On considère l'ensemble  E = {a , e , i , l , m , n , p }. On appelle "mot" formé avec ces 7 lettres toute suite de ces sept lettres écrites dans un certain ordre de gauche à droite sur une même ligne.

            1- Combien de mots peut-on former ?

            2- Combien peut-on former de tels mots:

                                   a) commençant par une voyelle ?

                                   b) commençant et finissant  par une voyelle ?

                                   c)commençant par une voyelle et finissant par une consonne ?

                                   d) si les voyelles doivent occuper les places paires ?

Exercice 9

Un dé normal est un cube dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Deux nombres marqués sur deux faces opposées ont pour somme 7.

1.- On lance deux dés D1 et D2 de couleurs différentes. On note x le nombre obtenu avec le cube D1 et y le nombre obtenu avec le dé D2.

a) Quel est le nombre de couples (x ;y) possibles ? (Faire un tableau)

b) Quel est le nombre de cas amenant une somme x+y = 8 ? une somme  ?

2.-Reprendre les mêmes questions dans le cas où les deux dés sont identiques.

Exercice 10

On veut constituer un bureau comprenant 3 femmes et 4 hommes. Les 3 femmes sont choisies parmi 10 et les quatre hommes parmi 7.

                        1- Combien de bureaux  différents peut-on former ?

             2- On suppose que Mme A et Mr B ne peuvent appartenir à un même bureau, combien de bureaux différents peut-on former  ?

Exercice 11

 On dispose d'un jeu de 32 cartes ordinaires.

1- De combien de manières peut-on choisir une "main" de huit cartes contenant :

a) exactement un as

b) au moins un as;

c) l'as de pique et cinq trèfles exactement ?

d) exactement 1 roi, une dame et un valet?

f) le roi de cœur et au moins 2 carreaux ? 

2- On considère quatre joueurs. Combien y a-t-il de distributions possibles de huit cartes ?

Exercice 12

Pierre, Jules et Irène sont des élèves d'une classe de 9 garçons et 11 filles. On se propose de prendre, dans cette classe, 3 garçons pour jouer les rôles respectifs de Tartuffe, Orgon et Cléante, 2 filles pour jouer les rôles respectifs d'Elmine et de Marianne. Un tel ensemble de trois garçons et de deux filles, dans lequel le rôle de chacun est bien précisé est appelé une "troupe".

1- a) De combien de façons peut-on choisir  les trois garçons en affectant à chacun d'eux un rôle bien déterminé?

                b) Même question pour les filles.

                c) En déduire le nombre de troupes que l'on peut constituer.

2- a) Combien y a-t-il de troupes qui comportent Pierre et Jules ?

     b) Combien y en a-t-il qui comportent Pierre, Jules et Irène ?                             

Exercice 13

Sur une autoroute, une société pétrolière a installé cinq stations-service. Elle veut affecter cinq gérants, notés A, B, C, D et E à la tête de chaque station.

            a) De combien de façons peut-elle faire ces affectations ?

b) parmi ces façons, combien y en a-t-il où A, B et C sont affectés à trois stations consécutives : - dans l'ordre alphabétique ?

     - dans n'importe quel ordre ?

Exercice 14

 Une boîte contient dix billes dont 5 rouges, 3 blanches et 2 vertes,

A- On tire au hasard et simultanément 3 billes de la boîte.

1. - Quel est le nombre de cas possibles ?

2. -Quel est le nombre de cas favorables au tirage :

                               a) de trois billes blanches;

                            b) de 3 billes rouges;

       c) de 3 billes de même couleur;

       d) de 3 billes de couleurs différentes;

       e) de trois billes dont deux exactement sont de la même couleur.

B- Reprendre ces questions si on tire successivement 3 billes de la boîte et dans les deux hypothèses suivantes :

                              a) après chaque tirage, on ne remet pas dans la boîte la bille tirée.

                              b) après chaque tirage, on remet dans la boîte la bille tirée.

Exercice 15

 Quel est le coefficient de x7y3 dans le développement de (x+y)10 ?

Exercice 16

 De combien de façons peut-on répartir 12 élèves en trois groupes comprenant respectivement 5, 4 et 3 élèves ?

 

Exercice 17

On dispose de 5 outils identiques et de 7 casiers susceptibles de les recevoir. On suppose que chaque casier peut contenir jusqu’à 5 outils. Déterminer le nombre de façons de placer les 5 outils dans les casiers

a)           de façon quelconque

b)           sans qu’il y en ait deux dans le même casier.

 

Exercice 18

 De combien de façons peut-on garer

a)           trois voitures dans un parking à 5 places ?

b)           cinq voitures dans un parking à 5 places ?

c)           cinq voitures dans un parking à 3 places ?

 

Exercice 19 :

 1.-Démontrer l’égalité    .

 2.- Calculer    

                    

3.- Calculer :

     S = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…….+ n(n+1)   et

    T = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +….. +n(n+1)(n+2)