DENOMBREMENT

Dénombrement des parties d’un ensemble fini

 

Exercice 1 :

            On considère le diagramme ci-dessous :

1°)       Enumérer les éléments de chacun des ensembles suivants et préciser leurs cardinaux respectifs :

                    ,                                           ,                      

             ,                      

                   ,                      

             ,                      

             ,                      

             ,                      

2°)       Rappeler les formules donnant : ,  et

 

Exercice 2 :

            On désigne par  l’ensemble des nombres entiers naturels plus petits que 16, par  l’ensemble des nombres impairs de , par  l’ensemble des nombres pairs de  et par  l’ensemble des nombres multiples de 3 de .

            Représenter les ensembles , ,  et  dans un même diagramme ; y faire figurer tous les éléments de .

Exercice 3 :

            Dans une classe de 42 élèves, chaque élève pratiquent un ou deux sports collectifs :

        le volleyball

        le basketball

        les deux sports

Sachant que          27 élèves pratiquent le Volleyball

                  et que  18 élèves pratiquent les 2 sports

Combien d’élèves pratiquent le Basketball ?

 

Exercice 4 :

            Les 50 élèves d’une classe de 1ère disposent de deux options culturelles, la musique et la peinture.

            27 élèves pratiquent la musique ; 29 élèves pratiquent la peinture et 5 élèves ne pratiquent aucun des deux activités.

            Chercher le nombre d’élèves qui pratiquent uniquement la musique, ceux qui pratiquent uniquement la peinture et ceux qui pratiquent les deux activités.

 

Exercice 5 :

            Dans une classe de première, sont étudiées les langues vivantes suivantes : Anglais, Allemand et Espagnol. Chaque élève étudie au moins une langue.

5 étudient les 3 langues, 7 l’anglais et l’allemand, 8 l’anglais et l’espagnol, 9 l’allemand et l’espagnol

Enfin 20 étudient seulement l’anglais, 15 l’allemand et 18 l’espagnol

1°)       Quel est l’effectif de cette classe ?

2°)       Représenter cette classe par un diagramme

Exercice 6 :

            Sur 8224 voitures vendues par une société commerciale, 5243 sont équipées d’un lecteur MP3 tandis que 4932 sont équipées d’une climatisation et 1927 voitures ne possèdent ni lecteur MP3 ni climatisation.

Combien de voitures sont à la fois équipées d’un lecteur MP3 et d’une climatisation ?

 

Exercice 7 :

            Dans une classe de 50 élèves ; à la question :

– Qui aiment le Basket-ball ? 20 élèves ont levé la main.

– Qui n’aiment pas le Volley-ball ? 35 élèves ont levé la main.

– Qui aiment à la fois le Basket-ball et le Volley-ball ? 10 élèves ont levé la main.

1°)       Combien d’élèves n’ont jamais levé la main ?

2°)       Combien d’élèves ont levé la main une seule fois ? Deux fois ? Trois fois ?

 

– DENOMBREMENT –

Dénombrement d’Arrangements et de Permutations

Exercice 1 :

            Une permutation d’un ensemble fini  est une façon d’ordonner les éléments de

1°)       Donner deux permutations de chacun des ensembles suivants :

2°)       Combien y a-t-il de permutations d’un ensemble à 2 éléments ?d’un ensemble à 3 éléments ?d’un ensemble à 4 éléments ?d’un ensemble à 5 éléments ?d’un ensemble à 6 éléments ?

            ( On note  (factorielle ) le nombre de permutations d’un ensemble à  éléments )

 

Exercice 2 :

1°)       De combien de façons différentes peut-t-on ranger 5 boules de couleurs différentes dans 5 cases alignées de tels sortes que chaque case ne contienne qu’une seule boule ?

2°)       Combien de sigles de 5 lettres différents peut-t-on former avec les lettres du mot « MATHS » ?

3°)       Combien y-a-t-il d’ordre d’arrivées possibles lors d’une course d’endurance à 8 partants, si on suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo ?

4°)       De combien de façon différentes peut-t-on numéroter de 1 à 9 les 9 chaines télévisées accessibles à Antananarivo ?

 

Exercice 3 :

            Un arrangement 3 à 3 des éléments d’un ensemble fini  est une façon d’ordonner 3 éléments distincts de

1°)       On pose

            Donner trois arrangements 2 à 2 des éléments de

            Donner trois arrangements 3 à 3 des éléments de

Donner trois arrangements 4 à 4 des éléments de

Donner trois arrangements 5 à 5 des éléments de . Que remarque-t-on ?

2°)       a) Combien y a-t-il d’arrangements 2 à 2 dans un ensemble à 3 éléments ?

            b) Combien y a-t-il d’arrangements 2 à 2 dans un ensemble à 4 éléments ?

            c) Combien y a-t-il d’arrangements 3 à 3 dans un ensemble à 4 éléments ?

            d) Combien y a-t-il d’arrangements 4 à 4 dans un ensemble à 9 éléments ?

e) Combien y a-t-il d’arrangements  à  dans un ensemble à  éléments ?

3°)       On note  le nombre d’arrangements  à  dans un ensemble à  éléments

            Vérifier que               (  )

 

Exercice 4 :

1°)       On dispose de 8 boules de couleurs différentes

            De combien de façons différentes peut-t-on remplir 5 cases alignées avec des boules ? Chaque case ne peut contenir qu’une seule boule

2°)       Combien de sigles de 5 lettres distincts peut-t-on former avec les lettres du mot « COMBIEN » ?

3°)       Combien y a-t-il de résultats possibles en quinté, lors d’une course de chevaux à 10 partants, si on suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo ?

4°)       De combien de façons différentes peut-t-on choisir un président, un vice-président, un secrétaire et un trésorier dans une classe de 40 élèves ?

 

Exercice 5 :

            Une combinaison 3 à 3 des éléments d’un ensemble fini  est une façon de grouper 3 éléments distincts de

1°)       On considère l’ensemble

            a) Enumérer tous les arrangements 3 à 3 des éléments de . Combien y en a-t-il ?

            b) Enumérer toutes les combinaisons 3 à 3 des éléments de . Combien y en a-t-il ?

2°)       Soit la combinaison

            a) Combien d’arrangements 3 à 3 peut-on former avec cette unique combinaison ?

            b) Quelle relation lie le nombre d’arrangements 3 à 3 et le nombre de combinaisons 3 à 3 des éléments de  ?

3°)       Soit  un ensemble fini à  éléments, et soit

            a) Combien d’arrangements  à  peut-t-on former avec une seule combinaison  à  des éléments de  ?

            b) Quelle relation lie le nombre  et le nombre , nombres de combinaisons  à  des éléments de  ?

            c) Montrer que

 


Exercice 6 :

1°)       On dispose de 8 boules identiques

            De combien de façons différentes peut-t-on remplir 5 cases alignées avec des boules ? Chaque case ne peut contenir qu’une seule boule.

2°)       De combien de façons différentes peut-t-on choisir 4 représentants de la classe dans une classe de 40 élèves ?

3°)       Combien de mains de 13 cartes peut-on avoir dans un jeu de 32 cartes ?              

 

Exercice 7 :

             A l’arrivée d’une course de chevaux, le quinté gagnant dans l’ordre est le :

2          ;           7          ;           5          ;           9          ;           3

1°)       Combien y-a-t-il de quintés gagnants ?

2°)       Combien y-a-t-il de quintés gagnants dans le désordre ?

 

Exercice 8 :

1°)       Calculer :

                                                                               

                                                                                 

                                                                           

                                                                                     

                                                                  

                                                                   

                                                              

                         


2°)       Résoudre dans  les équations suivantes :

                                                       

                                                    

                                                     

                                                      

                                          

 

Exercice 9 :

Montrer que :

                                           

 

Exercice 10 :

Ecrire le plus simplement possible :