GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES REELLES

                                       

1.- Définitions :

 

On appelle fonction numérique réelle toute application f d’une partie D de R dans R. L’ensemble D est appelé ensemble de définition de f. D est donc l’ensemble des réels x tels que f(x) existe

 

Exemples : Soient P et Q deux polynômes

-    Si

-          Si

-          Si

-          Si

-          Si

 

2.- Opérations sur les fonctions

        Soient f et g deux fonctions.

On définit les fonctions  par :

o     

o     

o     

o     

 

3.- Courbe représentative d'une fonction

L’ensemble des points M (x ; y ) du plan rapporté à un repère , tels que  et  y = f(x) est appelé courbe représentative de f.

 

On le note en général .

Exemple :  Soit  et (C ) la courbe représentative de f.

           

       Considérons les  points M1(0 ; 0), M2(1 ; 2), M3(-1 ; 0)

o        f(1)= 0donc

o        donc

o        donc

 

La relation y=  f (x) est appelée équation de la courbe (C) dans le repère .

 

 

4.- Parité  

·                                Une fonction f est paire si quel que soit, on a

           et

E     La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

 

·        f est dite impaire si quel que soit , et

E     La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine O du  repère 

 

5.- Symétrie :

 

o                   Soient M(x ; y), M’ (x’ ; y’) deux points du plan. M et M’ sont symétriques

      par rapport à la droite d’équation   si et seulement si  et 

     , donc si et

 

   La courbe représentative d’une fonction f est symétrique par rapport à la droite d’équation  si et seulement si quel que soit , son symétrique M’(2a-x ;y) appartient aussi à

Comme , on a y =f(x), donc y= f(2a-x)  pour tout

Ainsi :

 est symétrique par rapport à la droite d’équation  si et

 seulement si quel que soit , et f(2a-x)=f(x)

 

En remplaçant x par x+a, l’égalité s’écrit  f(a-x) = f(a+x)

 

Cas particulier :

Si , on a f(-x)=f(-x), donc la fonction paire et  est symétrique, par rapport à l’axe des ordonnées (droite d’équation x=0)

 

o                    Considérons deux points M(x ; y), M’ (x’ ; y’) et un point S(a ;b).

 

M et M’ sont symétriques par rapport à S si et seulement si .

M et M’ sont donc symétriques par rapport à si et seulement si  

 

                        Donc si et seulement si    ,  ou

 

  La courbe représentative d’une fonction f est donc symétrique par rapport à  

  S(a,b) si quel que soit M(x,y) de cette courbe, son symétrique M’(x’ ;y’) 

  appartient aussi à la courbe.

Donc si  alors

C'est-à-dire si  alors

 

Or

 

 Comme y = f(x), on a,

  est symétrique par rapport à S(a,b), si et seulement si quel que soit ,  et

 

En remplacent x par a+x, cette égalité s’écrit :

 

Si a = b = 0, , on a une fonction impaire.

 

6.- Périodicité :

Une fonction f est dite périodique s’il existe un réel p tel que quel que soit,  et. Le plus petit réel p strictement  positif vérifiant cette propriété est appelé la période de la fonction f

 

On a, quel que soit ,

     

Si on a une courbe représentative de f dans un intervalle de longueur p toute la courbe est obtenue par translation de vecteur

Zone de Texte:

 

7.- Variation d’une fonction :

 

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on appelle taux de variation de f entre x et x’ de I, le réel

 

·        On dit que f est croissante (respectivement strictement croissante) sur I si quels que soient x et x’ de I tels que  (respectivement)

 

E     f est croissante sur I, si et seulement si quels que soient x et x’ de I

 

·        f est dite décroissante sur I (respectivement strictement décroissante sur I) si et seulement quels que soient x et x’ de I tels que  (respectivement

 

E     f est décroissante si et seulement si quels que soient x et x’ de I

 ( strictement décroissante si  )

 

·        f est dite monotone sur I si elle est soit décroissante sur I, soit croissante sur I.

 

Etudier les variations d’une fonction f, c’est subdiviser son domaine de définition, lorsque c’est possible, en un nombre fini d’intervalles sur chacun desquels f est monotone.

 

8.- Extremum local (ou relatif) :

Soit f une fonction définie sur I et . On dit que :

·        f admet un minimum local en  s’il existe un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant  tel que quel que soit      

·        f admet un maximum local en  s’il existe un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant  tel que quel que soit      

 

   9.- Changement de repère :

On rappelle que l'équation d’une courbe (C ) est la relation que vérifient les coordonnées des points de (C ).

Soit (C ) la courbe représentative d’une fonction f.  est donc l’équation de (C ) dans le repère

Si M(x ;y) un point de (C ), alors . Soient ,  (où et  sont des vecteurs non colinéaires) et soit  les coordonnées du point M dans le repère  . Nous avons :

                  

                  

 

                 d’où   ( formule de changement de repère)

 

Dans le cas où  ou  ( c'est-à-dire a=1, b=0, c =0, d =1)  les formules s’écrivent    . On a seulement un changement d’origine ou translation d’axes

 

Pour avoir l’équation de (C ) dans le repère   on porte les expressions X  et Y dans l’équation

 

Soit  l’équation de (C ) dans le repère

·  Si F est paire l’axe des Y est un axe de symétrie et

·  Si F est impaire,  est un centre de symétrie

 

 

Exemple : 

Soit  la courbe représentative de f dans

Trouver l’équation de  dans  

 

Soit  dont les coordonnées dans sont (x,y) et dans , (X ;Y)

La formule de changement de repère s’écrit    ou     

L’équation de  dans  est

                                                

 

                                         Et enfin  est l’équation de  dans .