CONTINUITE :

    1.- Continuité en un point x0

            Soit f  une fonction définie sur I et

 

a.     Définition :

 

f est continue en x0 si f  admet une limite finie en x0 et cette limite est f(x0), autrement dit, f est continue en x0 si et seulement si

 

Exemple :

    

      f est elle continue en x0 = -1 ?

    

      Donc f est continue en x0 = -1

 

b.     Continuité à gauche – Continuité à droite :

 

Si f est définie sur

f est continue à droite de x0 si la

 

Si f est définie sur  ,

f est continue à gauche de x0 si

 

On rappelle que f admet une limite en x0 si et seulement si

 

Donc f est continue en x0 si et seulement f est continue à gauche en x0 et continue à droite en x0, c'est-à-dire si et seulement  si

           

Exemple :  

 

   

    

 

            Donc f  est continue en x0

 

c.     Opérations sur les fonctions continues en un point :

 

Si f et g sont continues en x0 alors  sont continues en x0.

Si de plus , alors  est continue en x0

 

Démonstration : f et g sont continues en x0, donc

  

 

        2.- Continuité sur un intervalle

 

a.    Définition

 

On dit que f est continue sur si  elle est continue en chaque point de cet intervalle.

f est continue sur , si elle est continue sur , continue à droite en a et continue à gauche en b

 

Graphiquement, une fonction est continue si la courbe représentative de cette fonction est continue

 

Conséquences

 

Toute fonction constante est continue sur

Toute fonction polynôme est continue sur

Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition

Si f est continue et positive sur I, alors est continue sur I

 

b.    Propriétés des fonctions continues :

 

Théorème

 

Si f est continue sur  alors l’image de  par f est un intervalle

 

Théorème des valeurs intermédiaires

 

Soient a et b deux éléments de l’ensemble de définition de f tels que a < b.

Si f est continue sur  alors quel que soit  y0 appartenant à ou , il existe au moins vérifiant  ; en d’autres termes, quel que soitou , l’équation  admet au moins une solution

Si, de plus, f est strictement monotone, cette solution est unique

 

Cas particulier :

 

Si f est continue sur  et  l’équation  admet au moins une solution dans l’intervalle

 

a.     Prolongement par continuité.

 

 Soit  I un intervalle de IR, x0 un élément de I, et f une fonction définie sur I - {x0}.

 

 Si f admet une limite finie en x0, c'est-à-dire est finie ou est finie, alors f est prolongeable par continuité en x0

 

On obtient une fonction continue g en posant :

           

 

Cette fonction g, continue en x0, est appelée prolongement de f par continuité en x0