DERIVABILITE

1.  Dérivabilité en un point –Nombre dérivé :

 

a.    Définitions

 

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant x0. On dit que f est dérivable en x0 si la fonction  admet  une limite finie en x0. Cette limite, lorsqu’elle existe, est appelée nombre dérivé de f en x0 ; on la note

On a donc  ou, en posant x=x0+h,

 

Exemple :

                        f  est-elle dérivable en x0=1 ?

 

             

                            

 

 

On a une limite finie, donc f est dérivable en 1 et

 

b.    Définition équivalente

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 appartient à I.

 

Une fonction f est dérivable en un point x0 si pour tout h tel que  x0+h appartient à I, on peut écrire :  est une fonction telle que . Dans ce cas, a est le nombre dérivé de f en x0, ( a = f '(x0))

 

Démonstration :

Soit a un réel quelconque. Considérons la fonction  définie par

 

 

On a alors pour tout h tel que x0 +h appartient à I,

 

 

Ce qui établit l'équivalence.

L'écriture  est appelée développement limité d'ordre 1 de f au point x0

 

 

Remarques :

¨        Dès que l'on rencontre une écriture avec  on peut conclure que : -  et que f est dérivable en x0 et 

¨        donc

 

Et lorsque h tend vers 0, tend aussi vers 0; ce qui fait que lorsque h est très proche de 0,et alors  est aussi très proche de

L'erreur commise en prenant comme valeur approchée de  est

 

En utilisant la variable x, le développement limité de f en a s'écrit :

 

La fonction est la meilleure approximation affine de f au voisinage de x0

 
 

 

 


                 Géométriquement

               représente la distance PM. Plus M se

               rapproche de A, plus la distance devient

               très petite

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c.    Dérivabilité à gauche – dérivabilité à droite

 

On dit que f est dérivable à droite en x0 (respectivement à gauche) si la fonction  admet une limite finie quand x tend vers x0+   ( respectivement vers x0 -)

 

Les limites lorsqu'elles existent, sont appelées respectivement nombre dérivé à gauche et nombre dérivé à droite de x0, et notés  et

 

, lorsqu'elles sont finies

 

Théorème :

Pour qu’une fonction f  soit dérivable en x; il faut et il suffit que les nombres dérivés à gauche et à droite soient finis et égaux, c'est-à-dire si :

 (finie)

 

2. Dérivabilité sur un intervalle :

f est dérivable sur  si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle.

f est dérivable sur  si elle est dérivable sur , dérivable à gauche en b et dérivable à droite en a.

 

Théorème :

  Si f est dérivable en x0, elle est continue en x0.

 

Démonstration :  f est dérivable en x0 donc

               est un réel l

   Posons

   On a

   Donc

    

   Or

 

Donc .

D’où la continuité de f en 0

 

 

3. Fonction dérivée :

a.  Définition :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. On appelle fonction dérivée de f (ou dérivée de f) sur I la fonction notée f’, qui  à tout x de I associe  le nombre dérivé de f en x.

 

b.  Dérivée des fonctions usuelles

 

a

0

x

1

2x

                    xn   (

 

Démonstration :

·  Si f(x)=a quel que soit  .

f est constante 

donc

 

·  Si  f(x)=x

 

·  Si

 

·  Si

 

·  Si

 

·  Si

  

 

 

Exemple : Calculer le nombre dérivé de  en 2

                       

 

c.  Opérations sur les fonctions dérivées :

 

Théorème :

   Si u et v sont des fonctions dérivables sur I alors  sont    dérivables sur I. Si de plus, v ne s’annule pas sur I alors est dérivable sur I.

  Et on a :

                

 

 

          En particulier    

                  

 Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors  est dérivable et

 

Démonstration :

·         u et v sont dérivables sur I, donc quel que soit ,  sont finies

                                                                      =

D’où

·                   

    

                                              

Puisque u et v sont dérivables, elles sont continues en x0 . Donc

D’où  (uv)’(x0)=u’(x0).v(x0) +u(x0).v’(x0)

 

·         Si v est constante,  quel que soit x,

·  

 

·        

 

·        

 

 

Conséquences :

 

·                   Si u est dérivable, u² est dérivable () et

 

Plus généralement, est dérivable et   

 

·                   Toute fonction polynôme est dérivable sur R

·                   Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.

·                   Si u est une fonction dérivable sur I, et tel que  pour tout , alors  est dérivable sur J

 

 

              Exercices

a) Montrer que

b) Soit . Montrer que

   Réponses

a)

 

                   b)

 

Théorème :

Quel que soit ,

 

d.  Dérivée seconde d’une fonction :

Si f est dérivable sur I et sa dérivée f ’ est, elle aussi dérivable sur I,  on dit que f est 2 fois dérivable sur I et la dérivée de f ’, notée f’’, est appelée dérivée seconde de f.

 

   4.   Application à la dérivée.

    a.      Tangente à la courbe :

Zone de Texte:

 

Soit la courbe représentative d’une fonction f et  et deux points de .Considérons la droite (AM) ; elle a pour pente (ou coefficient directeur)    

Si on fait tendre M vers A, x va tendre vers x0 et la droite (AM) va tendre vers une position limite (T) appelé droite tangente à la courbe au point A,  et sa pente tend vers : c’est la tangente de l’angle que fait la droite (T) avec l’axe des abscisses.

 

Considérons un point M(x,y) de (T), on doit avoir :

 

ou 

                          (équation de la tangente (T) à la courbe au point A(x;f(x0))

 

 Remarques :

¨                                               

 
 Si  , alors

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§   Si , on a une tangente parallèle à l’axe des abscisses(tangente horizontale).

§   Si , f n’est pas dérivable en x0, on a une tangente parallèle à l’axe des ordonnées

§   Si, (f n’est pas dérivable en x0) on a deux demi tangentes à gauche et à droite de M0, de pentes respectives. On dit que l’on a un point anguleux.

 

b.  Sens de variation :

 

Théorème :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

·  Si quel que soit,  alors f est croissante sur I

·  Si quelque soit,  alors f est décroissante sur I

·  Si quel que soit,  alors f est constante sur I

 

Si l' inégalité est stricte. f est strictement croissante (respectivement décroissante)

 

c.  Extremums relatifs

          Théorème :

Si f est dérivable sur I ouvert, et , et si f admet un extremum en x0, alors

La réciproque n’est pas vraie

 

  Exemple :

      mais on n’a ni maximum, ni minimum en 0

Zone de Texte:

 

Théorème :

 

f admet un extremum en x0 si et seulement si f ’ s’annule et change de signe en x0

 
 

 

 

 

 

 


a.                Sens de concavité – Point d’inflexion

 

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.

·                                                   si  quel que soit , alors  tourne sa concavité vers les y positifs

·                                                   si  quel que soit , alors  tourne sa concavité vers les y négatifs.

 

On appelle point d’inflexion un point de la courbe qui sépare deux parties de la courbe de sens de concavité différents.

 

M0(x; f(x0)) est un point d’inflexion si et seulement si s’annule et change de signe en x0.

 
 

 

 

 


 En un point d’inflexion, la tangente coupe la courbe.

 

Le point O (0 ;0 )  est un point d’inflexion

 
                

 

5. Plan d’étude d’une fonction :

·        Domaine de définition

·        Etude de la parité –Périodicité

o       Si f est une fonction paire ou impaire, on fait l’étude sur et on complète par symétrie

o       Si f est périodique de période T, on fait l’étude sur un intervalle de longueur T puis on complète par translation de vecteur

·        Limites aux bornes de De

·        Dérivée

·        Tableau de variation

·        Courbe