Suites numeriques réelles

 

I. GENERALITES

1.               Définition :

On appelle suite numérique réelle, toute application u d’une partie I de N dans R. L’image d’un entier n (de I) est notée un

          

Le terme d’indice n un , est appelé terme général de la suite u. et on note aussi .

   Si u est définie pour tout

           le 1e terme est u1

               le 2e terme est u2

               le ne terme est un

 

   Si n est définie sur N

           le 1e terme est u0

               le 2e terme est u1

               le ne terme est un-1

 

Deux façons de définir une suite :

o       Une suite peut être définie par la donnée de l’expression de son terme général en fonction de n

Exemple :

est la suite définie par

u0=0 ;  u1= ;  u100=

 

o       On peut aussi définir une suite par la donnée d’un premier terme (u0 ou u1 en général) et d’une relation entre deux termes consécutifs quelconques de la forme un+1= f(un)

 

Exemple :  (un) est la suite définie par :

                                               

   On a:      

 

La relation un+1= f(un) est dite relation de récurrence.

Ø    La relation de récurrence peut lier trois termes (ou même plus) consecutifs.

 

Exemple :    (un) est la suite définie par :

                                               .

   On a alors  ;  … ;

 

2.         Représentation graphique des termes d’une suite 

 

-                  Si la suite est définie par un= f(n). On trace la courbe représentative de f

                         un= f(n), u1=f(1)

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


-      Si (un) est définie par

On trace la courbe représentative de f et la droite d’équation y = x

 

Zone de Texte:

 


3.         Sens de variation d’une suite :

a.           définitions :

·                   Une suite (un) est dite croissante si quel que soit n,

·                   Une suite (un) est dite croissante si quel que soit n,

·                   (un) est dite constante ou stationnaire si quel que soit n,

b.           Etude de variation :

1ere méthode :

On étudie le signe de  :   - si  ; (un) est croissante

·   si  ; (un) est croissante

·   si ; (un) est constante

2e méthode :

Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut comparer à 1 :

·               si  pour tout n,  (un) est croissante

·          si    pour tout n, (un) est croissante

·          si pour tout n, (un) est stationnaire

 

3e méthode :

Si (un) est définie par un= f(un), on étudie la variation de f sur

·       si f est croissante, (un) est croissante

·       si f est croissante ; (un) est croissante

·       si f est constante, (un) est constante

 

II.- SUITES PARTICULIERES

1.    Suites arithmétiques :

a.            Définition :

 

  Un suite (un) est une suite arithmétique, si quel que soit n, est une   

  constante r.

  On a donc pour tout n, ou 

  Le réel r est appelé raison de (un)

 

 On a alors, si u0 est le 1er terme de (un) :

          

 

            (1)

 

et si     (2)

 

(1)-(2)

 

 

b.        Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :

Soit (un) une suite arithmétique de 1er terme u0 e de raison r.

Posons 

Considérons la somme  

 

Par addition membre à membre ,

 

 

     

 

où u: le 1er terme de la somme,  u: le dernier terme de la somme  et (n+1) : le nombre de termes..

On a, par exemple,  

2.- Suites géométriques :

 

a.           Définitions :

  (un) est une suite géométrique s’il existe  tel que quel que soit n, .  

   Le réel q est appelé raison de la suite géométrique (un) et on a

      b.  Expression de un en fonction de n

Si (un) est une suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q, on a :

        

On a alors 

 Et après simplification :            (1)

                            Si        (2)

 

d’où, quels que soient n et k        

c.           Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

Soit (un) une suite géométrique de raison q et de 1er terme u0

 

 

  Si ,  où u0 : 1er terme de la somme et n+1 : nombre de termes de la somme

 

III.- LIMITE D’UNE SUITE :

1.- Définitions :

  On dit que (un) admet l pour limite si lorsque n prend les valeurs de plus en plus grandes, les termes un finissent par s’accumuler autour de l.

  Si on pose   où u est telle que u(n) = un pour tout entier n, on peut écrire  :

 

  On dit dans ce cas que (un) est convergente et qu’elle converge vers l.

   Une suite non convergente est dite divergente.

  (un) est divergente si elle a pour limite , ou si elle n’a pas de limite

 

2.- Suites de référence :

a.           Cas d’une suite arithmétique

            Soit  

o        Si r < 0   

o        Si r > 0   

o        Si r = 0,  lim (un) = u0

b.          Suite du type

o Si  ,  

o Si  

c.            Cas d’une suite géométrique :

             Théorème :

     Considérons la suite (un) définie par  un= qn

 

·                   si

·                   si  est stationnaire et converge vers 1

·                   si  ,  

·                   si  ,  (un) n’a pas de limite

 

Remarque :

Considérons la suite (Sn) définie par  où (un) est une suite géométrique de raison q et de 1er terme u0

 

 Si ,  

Et si ,   donc,   (Sn) converge et