EXERCICES- DENOMBREMENT

 

Exercice 1

 

Un produit se vend liquide ou en poudre. Un sondage fait ressortir les faits suivants :

-    le tiers des personnes interrogées n’utilisent pas la poudre ;

-    les deux septièmes des personnes interrogées n’utilisent pas le liquide ;

-    427 personnes utilisent à la fois le liquide et la poudre ;

-    le cinquième des personnes interrogées n’utilisent pas du tout le produit.

Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ?

 

Exercice 2

 

Combien existe-t-il entre 1 000 et 10 000 de nombres formés de 4 chiffres différents ?

 

.Exercice 3

9 personnes se rencontrent.

1. Quel est le nombre de poignées de mains échangées ?

2. Elles ont à leur disposition deux voitures de 5 et 4 places respectivement.

De combien de manières peut-on répartir ces 9 personnes dans les deux voitures en supposant  que n'importe laquelle de ces personnes est capable de conduire.

3. La répartition étant faite, quel est le nombre de placements possibles dans la voiture à 5 places ?

 

Exercice 4

 E désigne un jeu de 32 cartes, A l'ensemble des as de ce jeu, B l'ensemble des cartes qui ne soient pas des as. Quel est le nombre de jeux de 2 cartes comprenant un as et une carte qui n'est pas un as ?

Exercice 5

 On considère l'ensemble  E = {a , e , i , l , m , n , p }. On appelle "mot" formé avec ces 7 lettres toute suite de ces sept lettres écrites dans un certain ordre de gauche à droite sur une même ligne.

            1- Combien de mots peut-on former ?

            2- Combien peut-on former de tels mots:

                                   a) commençant par une voyelle ?

                                   b) commençant et finissant  par une voyelle ?

                                   c)commençant par une voyelle et finissant par une consonne ?

                                   d) si les voyelles doivent occuper les places paires ?

Exercice 6

Un dé normal est un cube dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Deux nombres marqués sur deux faces opposées ont pour somme 7.

1.- On lance deux dés D1 et D2 de couleurs différentes. On note x le nombre obtenu avec le cube D1 et y le nombre obtenu avec le dé D2.

a) Quel est le nombre de couples (x ;y) possibles ? (Faire un tableau)

b) Quel est le nombre de cas amenant une somme x+y = 8 ? une somme  ?

2.-Reprendre les mêmes questions dans le cas où les deux dés sont identiques.

Exercice 7

On veut constituer un bureau comprenant 3 femmes et 4 hommes. Les 3 femmes sont choisies parmi 10 et les quatre hommes parmi 7.

                        1- Combien de bureaux  différents peut-on former ?

             2- On suppose que Mme A et Mr B ne peuvent appartenir à un même bureau, combien de bureaux différents peut-on former  ?

Exercice 8

 On dispose d'un jeu de 32 cartes ordinaires.

1- De combien de manières peut-on choisir une "main" de huit cartes contenant :

a) exactement un as

b) au moins un as;

c) l'as de pique et cinq trèfles exactement ?

d) exactement 1 roi, une dame et un valet?

f) le roi de cœur et au moins 2 carreaux ? 

2- On considère quatre joueurs. Combien y a-t-il de distributions possibles de huit cartes ?

Exercice 9

Pierre, Jules et Irène sont des élèves d'une classe de 9 garçons et 11 filles. On se propose de prendre, dans cette classe, 3 garçons pour jouer les rôles respectifs de Tartuffe, Orgon et Cléante, 2 filles pour jouer les rôles respectifs d'Elmire et de Marianne. Un tel ensemble de trois garçons et de deux filles, dans lequel le rôle de chacun est bien précisé est appelé une "troupe".

1- a) De combien de façons peut-on choisir  les trois garçons en affectant à chacun d'eux un rôle bien déterminé?

                b) Même question pour les filles.

                c) En déduire le nombre de troupes que l'on peut constituer.

2- a) Combien y a-t-il de troupes qui comportent Pierre et Jules ?

     b) Combien y en a-t-il qui comportent Pierre, Jules et Irène ?                             

Exercice 10

Sur une autoroute, une société pétrolière a installé cinq stations-service. Elle veut affecter cinq gérants, notés A, B, C, D et E à la tête de chaque station.

            a) De combien de façons peut-elle faire ces affectations ?

b) parmi ces façons, combien y en a-t-il où A, B et C sont affectés à trois stations consécutives : - dans l'ordre alphabétique ?

     - dans n'importe quel ordre ?

Exercice 12

 Une boîte contient dix billes dont 5 rouges, 3 blanches et 2 vertes,

A- On tire au hasard et simultanément 3 billes de la boîte.

1. - Quel est le nombre de cas possibles ?

2. -Quel est le nombre de cas favorables au tirage :

                               a) de trois billes blanches;

                            b) de 3 billes rouges;

       c) de 3 billes de même couleur;

       d) de 3 billes de couleurs différentes;

       e) de trois billes dont deux exactement sont de la même couleur.

B- Reprendre ces questions si on tire successivement 3 billes de la boîte et dans les deux hypothèses suivantes :

                              a) après chaque tirage, on ne remet pas dans la boîte la bille tirée.

                              b) après chaque tirage, on remet dans la boîte la bille tirée.

Exercice 13

 De combien de façons peut-on répartir 12 élèves en trois groupes comprenant respectivement 5, 4 et 3 élèves ?

 

Exercice 14

On dispose de 5 outils identiques et de 7 casiers susceptibles de les recevoir. On suppose que chaque casier peut contenir jusqu’à 5 outils. Déterminer le nombre de façons de placer les 5 outils dans les casiers

a)           de façon quelconque

b)           sans qu’il y en ait deux dans le même casier.

 

 

Exercice 15 :

       On dispose de 7 jetons de couleurs différentes.

1°)  Combien de groupes de 3 couleurs différentes peut-on former avec ces jetons ?

2°)  De combien de façons différentes peut-on numéroter ces jetons de 1 à 7 ?

3°)  On suppose maintenant que les 7 jetons sont déjà numérotées de 1 à 7 ; et on veut s’en servir pour former un nombre.

       Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former avec ces jetons ?

 

Exercice 16 :

       Au terme d’une réunion particulièrement animée, les huit membres d’un conseil d’administration se serrent la main.

       Combien de poignées de mains seront ainsi échangées ?

 

Exercice 17 : Un sac contient 9 boules rouges et 7 boules vertes. On tire 5 boules.

a)     Quel est le nombre de cas possibles ?

b)     Déterminer le nombre de cas favorables à l’obtention de 5 boules de la même couleur.

c)     Déterminer le nombre de cas favorables à l’obtention de 3 boules rouges et 2 boules vertes.

d)     Déterminer le nombre de cas favorables à l’obtention de plus de boules vertes que de boules rouges.

 

Exercice 18 :

       On considère, dans le plan, les 8 points A, B, C, D, E, F, G et H suivants

 

1°)  a) Combien de droites passant par deux de ces points peut-on tracer ?

       b) Parmi ces droites, combien passent :

– par le point A ?

– par deux voyelles ?

– par deux consonnes ?

– par une voyelle et une consonne ?

2°)  a) Combien de vecteurs, admettant deux de ces points comme extrémités, peut-on tracer ?

       b) Parmi ces vecteurs, combien ont pour origine le point A ?

3°)  a) Combien de triangles, ayant trois de ces points comme sommets, peut-on tracer ?

       b) Combien de triangles admettent :

– le point A pour sommet ?

– les point A et B pour sommets ?

– 2 voyelles pour sommets ?

– 2 consonnes pour sommets ?

– des sommets tous des consonnes ?

– seulement 1 sommet voyelle ?

– seulement 1 sommet consonne ?

 

Exercice 19 : Dans un jeu de 32 cartes, on extrait 13 cartes au hasard.

       1°) Déterminer le nombre de façons possibles de faire ce tirage.

       2°) Déterminer le nombre de façons telles que parmi les cartes tirées figurent :

a)       exactement un roi.

b)       Au plus une dame.

c)       Au moins un valet.

d)       Exactement un roi et un dix.

e)       Exactement une dame, un neuf et deux as.

f)        Exactement 2 valets et 3 cœurs (sans le valet de cœur).

g)       Exactement 2 valets et 3 cœurs (avec le valet de cœur).

h)      Exactement 2 valets et 3 cœurs.

i)        Exactement 1 roi et 2 carreaux.

 

Exercice 20 : On dispose de 6 jetons numérotés de 1 à 6. On se sert de ces jetons pour former un nombre.

1°)  a) Combien de nombres de 6 chiffres distincts peut-on avoir ?

       b) Parmi ces nombres, combien sont pairs ? Impairs ? Divisibles par 5 ?

2°)  a) Combien de nombres de 4 chiffres distincts peut-on avoir ?

       b) Parmi ces nombres, combien sont pairs ? Impairs ? Divisibles par 5 ?

 

Exercice 21 :

On dispose de 6 jetons numérotés de 0 à 5. On se sert de ces jetons pour former un nombre.

1°)  a) Combien de nombres de 6 chiffres distincts peut-on avoir ?

b) Parmi ces nombres, combien sont pairs ? Impairs ? Divisibles par 5 ?

2°)  a) Combien de nombres de 4 chiffres distincts peut-on avoir ?

       b) Parmi ces nombres, combien sont pairs ? Impairs ? Divisibles par 5 ?

 

Exercice 22 :

       Une boîte contient  4 boules rouges numérotées de 0 à 3

                                          4 boules vertes numérotées de 4 à 7

                               et         2 boules noires numérotées 8 et 9

       On tire simultanément 3 boules de la boîte

1°)         Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2°)         Dans combien de cas distincts peut-on obtenir :

              a) 3 boules de la même couleur ?

              b) 3 numéros de même parité ?

              c) au moins une boule noire ?

              d) Exactement une boule noire et un numéro pair

 

Exercice 23 :

       Une urne A contient 4 boules blanches et 6 boules noires

       Une urne B contient 3 boules blanches et 5 boules noires

       On tire simultanément 2 boules de l’urne A et 1 boule de l’urne B

1°)  Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2°)  Donner le nombre de cas favorables à l’obtention de :

       a) 3 boules de la même couleur

       b) 1 boule blanche

       c) 2 boules blanches

 

Exercice 24 :

       La figure suivante représente un clavier de verrouillage pour un coffre.

Description : ClavierVerrou

1°)  Combien de codes de 5 caractères différents peuvent être utilisés par le propriétaire ?

2°)  Parmi ces codes, combien :

       a) ne contiennent que des chiffres ?

       b) ne contiennent que des lettres ?

       c) commencent par 2 lettres et ne contiennent que ces 2 lettres ?

       d) commencent par 2 lettres ?

       e) commencent par deux consonnes ?

 

Exercice 25 :

       Une urne contient   4 jetons blancs numérotées de 1 à 4

et    6 jetons noirs numérotées de 1 à 6

       On tire simultanément 4 jetons de l’urne.

1°)  Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2°)  Déterminer le nombre de cas favorables à l’obtention de :

       a) 4 jetons de la même couleur

       b) autant de jetons blancs que de jetons noirs

       c) plus de jetons blancs que de jetons noirs

       d) plus de numéros pairs que de numéros impairs

 

Exercice 26 :

       A l’oral d’un examen, un étudiant doit répondre à 8 questions sur un total de 10

1°)  Combien a-t-il de choix possibles de ces 8 questions ?

2°)  Combien de choix a-t-il s’il doit répondre aux trois premières questions ?

3°)  Combien a-t-il de choix s’il doit répondre à au moins 4 des 5 premières questions ?

 

Exercice 27 :

       Les 25 marins d’un navire ont épuisé leurs vivres le soir du 13 février alors qu’ils étaient encore au beau milieu de l’océan.

       Ils décidèrent alors de choisir au hasard 7 marins, pour être mangés, pour assurer leurs survies pour la semaine du 14

1°)  A combien de cas différents doivent ils s’attendre ?

2°)  Les 7 malheureux ont été choisis, mais ils disputèrent encore de qui va être exécuté le lundi, mardi, …

       De combien de façons différentes peuvent-ils s’organiser ?

3°)  Les 7 jours se sont écoulés, et les 18 marins restants se sont encore égaré, puisque le seul qui savait lire la carte a déjà été exécuté.

       De combien de façons différentes peuvent-ils choisir les 7 prochains malheureux à exécuter successivement pendant les 7 prochains jours ?

 

 

Exercice 28 :

Soit l’ensemble

1°)  Combien de nombres de 4 chiffres distincts peut-on former avec les éléments de  ?

2°)  Parmi ces nombres :          – Combien sont pairs ?

                                          – Combien sont impairs ?

                                          – Combien sont supérieurs à 7000 ?

– Combien sont inférieurs à 6000 ?

 

Exercice 29 :

       Une urne A contient 6 boules rouges et 3 boules vertes

       Une urne B contient 5 boule rouges et 4 boules vertes

I –   On lance une pièce de « pile » ou « face »

       Si on obtient « pile », on tire simultanément 4 boules de l’urne A

       Si on obtient « face », on tire simultanément 4 boules de l’urne B

1°)  Combien y a-t-il de résultats possibles dans cette expérience ?

2°)  De combien de façons différentes peut-t-on obtenir :

       a) 4 boules de la même couleur ?

       b) autant de boules vertes que de boules rouges ?

       c) plus de boules vertes que de boules rouges ?

II –  On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6

       Si on obtient 1 ou 6, on tire simultanément 4 boules de l’urne A

       Si on obtient 2, 3, 4 ou 5, on tire simultanément 4 boules de l’urne B

1°)  Combien y a-t-il de résultats possibles dans cette expérience ?

2°)  De combien de façons différentes peut-t-on obtenir :

       a) 4 boules de la même couleur ?

       b) autant de boules vertes que de boules rouges ?

       c) plus de boules vertes que de boules rouges ?

 

Exercice 30 :

       Chaque pièce d’un jeu de dominos dispose de deux faces, chaque face peut être numérotée de 0 à 6.

       On remarque qu’une pièce peut être un « double » (les deux faces portent le même numéro), ou un « couple » (les deux faces portent des numéros différents )

1°)  Combien existe-t-il de pièces « doubles » ?

2°)  Combien existe-t-il de pièces « couples » ?

3°)  Combien y a-t-il de pièces dans un jeu de dominos ?

4°)  Répondre aux mêmes questions que précédemment en supposant que chaque face peut être numérotée de 0 à 8, de 0 à 10

 

Exercice 31 :

       Une urne A contient 4 boules blanches et 6 boules noires

       Une urne B contient 3 boules blanches et 5 boules noires

       On tire simultanément 2 boules de l’urne A et une boule de l’urne B

1°)  Combien y a-t-il de résultats possibles dans cette expérience ?

2°)  Combien y a-t-il de cas favorables à l’obtention de :

       a) trois boules de la même couleur ?

b) une boule blanche

c) deux boules blanches

 

Exercice 32 :

1°)  De combien de manières différentes peut-on former un comité de 7 personnes dans une société de 8 femmes et 7 hommes ?

2°)  De combien de manières différentes peut-on former un comité de 3 femmes et 4 hommes dans cette société ?

3°)  De combien de manières différentes peut-on former un comité de 3 femmes et 4 hommes dans cette société, si l’on suppose que mademoiselle  et monsieur  soient désignés en même temps ?

4°)  De combien de manières différentes peut-on former un comité de 3 femmes et 4 hommes dans cette société, si l’on suppose que mademoiselle  refuse d’être désignée en même temps que monsieur  ?

 

Exercice 33 :

       Un groupe de  personnes décident de former un bureau de  personnes, dont un président et  délégués.

       Deux façons leurs sont offertes pour former ce bureau

1ère façon :           Choisir le président            puis    les  délégués.

       On note  le nombre de façons distinctes de procéder ainsi

2ème façon :          Choisir les  membres du bureau         puis    le président parmi ces  personnes.

       On note  le nombre de façons distinctes de procéder ainsi

1°)  Exprimer  et  en fonction de  et

2°)  Montrer que

 

Exercice 34 :

       24 équipes participent à un tournoi.

       Pendant la phase éliminatoire, les 24 équipes sont partagées en plusieurs groupes et chaque équipe doit rencontrer une et une seule fois tout autre équipe de son groupe

1°)  En formant 6 groupes de 4 équipes, combien de rencontres vont être disputées dans chaque groupe ?

2°)  En combien de groupes faut-il partager les 24 équipes pour qu’il y ait en tout 84 rencontres pendant la phase éliminatoire ?

(Indication : en notant  le nombre d’équipes dans chaque groupe,  est le nombre total de groupes. Chercher )

 

Exercice 35 :

       On peut choisir de mettre ou non une croix dans chacune des cases du carré ci-dessous :

       Combien y-a-t-il de façons distinctes de procéder ?

 

Exercice 36 :

       On dispose de 4 boules de couleurs différentes.

       Nous avons le choix :        – de ne choisir aucune boule

                                          – d’en choisir une, deux, trois ou quatre

1°)  Combien y-a-t-il de choix distincts en tout ?

2°)  Reprendre le même problème avec 5 boules, 6 boules,  boules.

 

Exercice 37:

       On appelle « bit » une variable ne pouvant prendre que l’une des deux valeurs 0 et 1.

       On appelle « Octet » une liste de 8 bits. (Ex :1001101)

1°)  Combien y a-t-il d’octets différents ?

2°)  Combien d’octet(s) a) ne contien(nent) aucun 0 ?

                                          b) contien(nent) un 0

                                          c) contien(nent) deux 0 ?

                                          d) contien(nent)  0 ?        ()

 

Exercice 38 :

       On dispose d’un damier carré (voir figure) et de 4 jetons identiques

A – 1°)       De combien de façons différentes peut-on placer les 4 jetons sur le damier, chaque case ne peut contenir qu’un seul jeton.

2°)  Dans combien de cas, les 4 jetons sont placés dans des cases de la même couleur ?

3°)  a) Dans combien de cas, la disposition des 4 jetons est symétrique par rapport à la diagonale noire ?

       b) Dans combien de cas, la disposition des 4 jetons est symétrique par rapport à une diagonale ?

4°)  a) Dans combien de cas, la disposition des 4 jetons est symétrique par rapport à la médiane verticale ?

       b) Dans combien de cas, la disposition des 4 jetons est symétrique par rapport à une médiane ?

B – On suppose que les 4 jetons sont de couleurs différentes

1°)  De combien de façons différentes peut-on placer les 4 jetons sur le damier ?

2°)  Dans combien de cas les 4 jetons sont placer dans des cases de la même couleur ?

C – On suppose que chaque case peut contenir plusieurs jetons

       De combien de façons différentes peut-on placer ces 4 jetons sur le damier ?

 

Exercice 39 :

       On dispose d’une grille carré de 3 lignes et 3 colonnes :

I –   On désire colorier 5 cases de cette grille

1°)  De combien de façons différentes peut-on choisir ces 5 cases ?

2°)  Dans combien de cas distincts

       a) une des cases à colorier se trouve sur la 1ère ligne ?

       b) deux des cases à colorier se trouve sur la 1ère ligne ?

       c) trois des cases à colorier se trouve sur la 1ère ligne ?

II –  On suppose que les 5 cases à colorier sont ceux qui se trouvent sur une diagonale

A – On dispose de deux crayons de couleur rouge et bleu

1°)  De combien de façons différentes peut-on colorier ces 5 cases ?

2°)  Dans combien de cas :

       a) aucune case n’est coloriée en rouge ?

       b) une seule case est coloriée en rouge ?

       c) deux cases sont coloriées en rouge ?

       d) trois cases sont coloriées en rouge ?

       e) quatre cases sont coloriées en rouge ?

       f) cinq cases sont coloriées en rouge ?

B – On dispose maintenant de trois crayons de couleurs rouge, bleu et vert

       Répondre aux mêmes questions que dans A –

 

Exercice 40:

A – Une boîte contient  4 boules blanches numérotées de 1 à 4

                               et         6 boules noires numérotées de 5 à 10

       On tire simultanément 3 boules de la boîte

1°)  Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2°)  Parmi ces tirages, combien font apparaître

       a) 3 boules de la même couleur

       b) Plus de boules blanches que de boules noires

       c) Exactement une boule blanche et un numéro impair

B – La boîte ne contient plus que deux boules, une blanche et une noire.

       On tire successivement et avec remise trois boules de la boîte ; et on note après chaque tirage la couleur de la boule obtenue.

1°)  Combien y a-t-il de résultats possibles

2°)  Parmi ces résultats, combien font apparaître

       a) 0 fois la boule blanche ?

       b) une fois la boule blanche ?

       c) deux fois la boule blanche ?

       d) trois fois la boule blanche ?

 

Exercice 41 :

I –   Une boîte contient  3 boules rouges numérotées de 1 à 3

                                          3 boules vertes numérotées de 4 à 6

                               et         3 boules noires numérotées de 7 à 9

       On tire simultanément 3 boules de la boîte.

1°)  Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2°)  Dans combien de cas distincts peut-t-on obtenir :

       a) 3 boules de couleurs différentes ?

       b) 3 boules de la même couleur ?

       c) 2 boules de la même couleur ?

       d) 3 numéros de même parité ?

       e) au moins une boule rouge ?

II –  La boîte ne contient plus que 3 boules, une rouge, une verte et une noire.

       L’expérience consiste à tirer  fois de suite une boule de la boîte (), en remettant la boule tirée dans la boîte après chaque tirage.

1°)  Combien y a-t-il de résultats possibles dans cette expérience ?

2°)  Dans combien de cas peut-t-on :

       a) ne jamais obtenir la boule rouge ?

       b) obtenir une seule fois la boule rouge ?

       c) obtenir deux fois la boule rouge ?

       d) obtenir  fois la boule rouge ?            ()

3°)  a) Donner le développement de , ()

       b) Quel est le coefficient de  dans le développement de  ? ()

 

Exercice 42 :

       Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont :

– 4 rouges numérotées 2, 3, 3, 4

– 4 vertes numérotées              1, 3, 3, 4

– 2 jaunes numérotées 1, 1

1°)  On tire au hasard et simultanément 2 boules de l’urne

       a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?

       b) Dans combien de cas distincts :

                   – la somme des numéros des 2 boules tirées est égale à 6 ?

                   – le produit des numéros des 2 boules tirées est égal à 4 ?

2°)  On effectue 3 tirages successifs d’une boule, en remettant dans l’urne, avant chaque tirage, la boule précédemment tirée.

       a) Combien y a-t-il de résultats possibles dans cette expérience ?

       b) Dans combien de cas distincts obtient-t-on :

                   – 3 boules de la même couleur ?

                   – 2 boules rouges et une jaune dans cet ordre ?

                   – 2 boules rouges et une jaune ?

 

Exercice 43 :

       Pendant la phase éliminatoire d’un tournoi, chaque équipe doit rencontrer une et une seule fois tout autre équipe de son groupe ; chaque groupe comporte 6 équipes.

1°)  a) Combien de rencontres va-t-il y avoir dans chaque groupe ?

       b) A combien de rencontres doit participer chaque équipe ?

2°)  Pour chaque rencontre, chaque équipe a la possibilité de gagner, perdre ou faire rencontre nul.

       a) A combien de résultats différents doit-t-on espérer d’une équipe à la fin de la phase éliminatoire ?

       b) Si une rencontre gagné vaut 1 point, et qu’une rencontre nul ou perdue en vaut 0 ; dans combien de cas distincts une équipe rassemble en tout 0 point ? 1 point ? 2 points ?  points ()