trigonometrie

 

 

I - RAPPEL ET DEFINITIONS :

Figure :

Zone de Texte:  Zone de Texte:

 

1.     Cercle trigonométrique :

 

Une unité de longueur étant choisie, on appelle cercle trigonométrique un cercle centré en un point 0, de rayon 1, et sur lequel on a choisi un point A comme origine pour la mesure des arcs, On lui associe le repère avec  orienté dans le sens direct.

On prend l’axe (OA) comme origine de la mesure des angles.

 

Figure :

 

Zone de Texte:

2.     Mesure d’arcs – Mesure d’angles :

 

Prenons un point M du cercle trigonométrique.

   désigne un arc orienté.

Le radian est l’arc dont la longueur est égale au rayon.

Un angle de 1 radian est un angle au centre qui intercepte un arc de 1 radian.

La mesure l de la longueur d’un arc est donnée par  où R est le rayon et  la mesure en radian de l’angle correspondant.

 

3.     Angles de deux vecteurs

 

 désigne un angle orienté des vecteurs

Figure :

Zone de Texte:

 

C’est aussi l’angle des deux demi-droites de même origine O.

 

4.     Quelques propriétés des angles orientés :

 

·       Deux angles orientés  et sont dits opposés si M et N sont symétriques par rapport à la droite (OA)

Figure :

Zone de Texte:

                                   

·       Relation de Chasles :

Soient  deux vecteurs

Quel que soit

     

 

5.     Fonctions circulaires :

 

On considère l’application  qui,  à tout angle, fait correspondre le point  M(x ; y)  du cercle trigonométrique tel que

 

Figure :                      

Zone de Texte:                                                                       

On a alors

                

     

 

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle OPM, on a

     

      OM²=OP²+PM²

                            ou   

                                                            et             

 

6.     Angles associés :

 

i.              Angles opposés :

 

Deux angles et sont opposés si leurs images M et M’ par  sont symétriques par rapport à l’axe (OA)  (on écrit

Figure :

 

 

                    On a   

 

ii.            Angles supplémentaires :

et sont supplémentaires si  , donc si

 

Figure :

Zone de Texte:

 

 

 

iii.                Angles complémentaires :

et sont complémentaires, si  , donc si

Figure :

 

                                             

 

iv.          Angles dont la différence est

C'est-à-dire

 

Figure :

Zone de Texte:

 

 

v.                  Angles dont la différence est

C'est-à-dire

 

Figure :

 

Zone de Texte:

 

 

7. Angles remarquables :