trigonometrie

 

III. EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES :

On rappelle que  quels que soient

 

1. Equation cosx = a,

 

·         Si, équation n’admet aucune solution

·         Si  , on a une infinité de solution. En effet si  est solution, (c'est-à-dire ),  est aussi solution (car  )

Et comme  quel que soit ,  est aussi solution, de même que

En admettant que ce sont les seules solutions, on a

 

Théorème :

Cas général :

 

 

Exemple :  

·                     résoudre 2cosx-1=0

  

 

 

·            

Posons         

 

 

 

1.    Equation sinx = a :

 

·       Si  pas de solution

·       Si  on a une infinité de solution

 

Si  est solution

Comme,  est aussi solution, donc  aussi

En admettant que ce sont les seules solutions on a :

Théorème :

 

Plus généralement

 

Exemples :

·                   Résoudre

·                  

 

o      

    

 

 

 

o      

Posons

 

 

2.    Equation acosx+ bsinx=c

Posons

 

Le point  appartient au cercle trigonométrique

Soit

 

 

Théorème :

Si , il existe un réel  tel que

 

 

Exemple :

Résoudre

 

 

3.    Equation tanx = a

Théorème :

Quel que soit le réel a, l’équation  admet toujours une infinité de solution.

 

Si  est solution,   est aussi solution, quel que soit

 

Exemple :

 

4.    Images des solutions d’une équation :

L’image d’une solution  d’une équation est le point M du cercle trigonométrique tel que

 

Ø      Si les solutions sont de la forme   les images des solutions forment un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle trigonométrique.

Si n = 3, on a un triangle équilatéral

Si n = 4, on a un carré,

Si n = 5 , ona un pentagone régulier

…..

si n = 1, on un seul point

si n = 2, on a deux points symétriques par rapport à l’origine du repère

 

5.    Exemples d’inéquation trigonométrique :

 

Exemples : 

o       résoudre

 

 

 

            l’image de x appartient à l’arc (orienté)

     

 

o       Résoudre

     

 

L’image de x appartient à l’arc (orienté)

     

 

 

o