trigonometrie

 

IV. ETUDE DES FONCTIONS CIRCULAIRES :

1.  Définitions :

Soit, on considère l’angle  dont la mesure en radian est x. On pose ,  et  lorsqu’elle est définie.

On appelle fonction cosinus (respectivement sinus, tangente) l’application qui, à tout réel x, associe (respectivement, tanx)

 

2.  Périodicité :

Soit  et f telle que  pour tout

On a   quel que soit . Le plus petit réel p strictement positif est la période de f.

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période, et la fonction tangente est périodique de période

 

Remarque :   

f(x) n’est pas définie pour , donc n’est pas définie pour

 

3.  Continuité :

Zone de Texte:  On montre et on admet que, pour

     

 

 

Pour  on pose

 

Donc    quel que soit 

Comme

 

 

La fonction sinus est continue en 0.

donc  est continue en 0

 

 

 

Soit  quelconque

Posons

f est continue en

 

 

Exemple :  

      

 

 

  La fonction sinus est donc continue sur R

 

Conséquence :

o    donc la fonction cosinus est continue sur R

o   La fonction tangente est le quotient de 2 fonctions continues donc elle est continue sur son domaine de définition  

 

4.  Dérivabilité :

Résultats importants : (limites usuelles)

Pour tout

 

     

On obtient le même résultat pour

 

 

Calcul de

 

 

 

En appliquant ces résultats, on montre que

 

 

 

Rappel :

f est dérivable en x0 si et seulement

 est finie (

     On sait que

 

Donc la fonction sinus est dérivable en tout point x0 de R et

 

La fonction cosinus est dérivable en tout point x0 de R et

 

Théorème :

·        Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et quel que soit

                

·        La fonction tangente est dérivable sur  car c’est le quotient de 2 fonctions dérivables et

 

 

 

Théorème :(admis)

 Si u est dérivable sur R, alors    sont dérivables et

     

 

5.  Variation et courbes :

f(x)= cosx

·        

·         Périodicité, f est périodique de période . On va faire l’étude sur un intervalle de longueur , par exemple

·         Parité : f est paire

·        

·         dérivabilité : f est dérivable sur De et

Zone de Texte:

Tangentes horizontales en (0,1) et

 

Intersection avec l’axe des abscisses :

Figure :

 

f(x)= sinx

·            

·             Périodicité, f est périodique de période .

·             Parité : f est impaire

·              

·             dérivabilité : f est dérivable sur De et

 

Zone de Texte:

Tangentes horizontales en

  Intersection avec l’axe des abscisses :

 

 

 

Figure :

 

 

 

    f(x)=tanx

·  

·  

·   f est périodique ,

·   f est impaire donc on peut encore réduire le domaine d‘étude à

·            

o donc la droite d’équation est une asymptote verticale

·             f est dérivable sur Df et 

 

Zone de Texte:

 

f '(0)=1, donc on a une  tangente de pente 1 à l'origine

 

    Figure :