RAPPELS SUR LES VECTEURS

 

1. Bipoints équipollents

Deux bipoints (A, B) et (A', B') sont équipollents si le quadrilatère ABB'A' est un parallélogramme.

Caractérisation : (A, B) et (A', B') sont équipollents si (A, B') et A', B) ont même milieu.

2. Vecteurs

a) Définitions :

o        On appelle vecteur  du plan l'ensemble des bipoints équipollents à

(A, B). Tout bipoint équipollent à (A,B) est un représentant du vecteur .

         La direction de  est la droite (AB), son sens de A vers B, et sa norme .

o            Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la  

même norme.

o            Si , est le vecteur nul et on écrit .

o            Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

o            Si A, B, C et D ne sont pas alignés, ABCD est un parallélogramme si

.

 

b) Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.

Théorème :

sont colinéaires s'il existe un réel k tel que

 Théorème

Soit  un vecteur donné.

      Pour tout point A, il existe un point unique M tel que .

 

3. Produit scalaire

a) définition

Le produit scalaire de deux vecteurs est le réel défini par . (forme géométrique)

Et si dans un repère orthonormé, alors   (Forme analytique)

 

Remarque :

On a donc

 

b) Propriétés :

o             ( On dit que le produit scalaire est commutatif)

o            .

o           

o           

 

c) Applications :

o       Projection orthogonale

Soit A un point du plan, et (D) une droite.

La projection de A sur (D) est le point A' de (D) tel que  (AA') soit orthogonale à (D).

C'est le point de D le plus proche de A.

La distance de A à (D) est d(A,A').

     

    Si on considère le triangle OA'A

    qui est rectangle en A' , on a :

.

D'où

 

 

                 

o       Relation entre les côtés 'un triangle quelconque

 

ABC est un triangle quelconque, AB = c, BC = a et AC = b

Zone de Texte:


 

D'après la relation de Chasles :

Donc

 

         

 

Comme,on a : .

 

Remarque :

Lorsque le triangle est rectangle en A : cos A = 0, on retrouve le théorème de Pythagore

De même, on a, pour les deux autres côtés, 

                                                                      

L'aire d'un triangle ABC est égale à où H est la projection de C sur la droite (AB). Donc

Zone de Texte:   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De même ,   et  .

D'où .

En divisant par abc, on a  ,

et en passant à l'inverse,        

o       Equation d'une droite

Etant donné un point A(x0, y0).

Un point M( x,y) appartient à la droite D passant par A et dont un vecteur normal est si et seulement si  sont orthogonaux, donc si et seulement si .

Cette égalité donne l'équation cartésienne de la droite D.

 

o       Equation d'un cercle :

-          Un point M(x;y) appartient au cercle de centre A(a,b) et de rayon R si         AM = R

Zone de Texte:


 Comme , on a l'équation cartésienne du cercle de  

 centre A(a,b) et de rayon R :   

-              Considérons un cercle de diamètre [AB].

Si M est un point de ce cercle distinct de A et de B, alors les vecteurs  sont orthogonaux. Donc .

        Cette égalité donne une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].

 

Exemple :

      Donner une équation du cercle de diamètre [AB] où A (1 ; 0) et B( 0 ; 2 ).

 

-         Un point M(x ; y ) appartient à ce cercle si et  seulement si

                        Comme les coordonnées des vecteur  sont respectivement 

                        (x-1 ; y) et (x ; y-2), cette égalité s'écrit (x-1).x+y.(y-2)=0.

            Ce qui donne en développant :  : c'est l'équation du

           cercle.

Zone de Texte:


- Le centre de ce cercle est le point  et son rayon  est

On peut retrouver l'équation en utilisant la première méthode :

Un point M(x ;y) appartient à ce cercle si AM = r; donc si  ou

 

 

 

o       Distance d'un point à une droite d'équation donnée

On considère une droite d d'équation ax + by +c = 0 et un point M0(x0 ; y0) n'appartenant pas à d.

Notons H le projeté orthogonal de M0 sur d.

La distance de M0 à d est la distance de Mo à H 

Zone de Texte:   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le vecteur est normal à d.

Le point M1 défini par est tel que .

Si xH  et yH sont les coordonnées de H, on a, puisque H appartient à d,

 axH + byH = c.

D'une part ,  ont respectivement comme coordonnées

Donc ,

Ou .

D'autre part

D'où

Ainsi