BARYCENTRE

1. Barycentre de deux points

a) Théorème et définition

 

 

A et B sont deux points donnés,  deux réels tels que .

Alors il existe un point G et un seul tel que .

Ce point unique G est appelé barycentre des points pondérés .

   

            Conséquence :

Soit G le barycentre de .

            Nous avons alors .

            Par la relation de Chasles

                                                          

 

d’où   

¨        Les points A, B et G sont donc alignés

¨        Cette dernière relation permet de construire facilement le point G connaissant A et B.

 

b) Homogénéité du barycentre :

 

 Le barycentre de deux points pondérés reste inchangé si l’on multiplie les coefficients par un même nombre non nul.

 En d’autres termes, si G est le barycentre de , alors G est aussi  le barycentre de  pour tout réel k non nul.

 

c) Isobarycentre de deux points :

 

Lorsque  et , on dit que G est l’isobarycentre des points A et B.

 

   G est, dans ce cas, le milieu de

d) Réduction de l’écriture.

 

Si , alors les points pondérés admet un barycentre G.

Donc .

On a alors, pour tout point M,

d’où

Théorème :

 

Si G est le barycentre des points pondérés , alors pour tout point M, on a

 

 Remarque

 

Comme cette égalité est vraie pour tout point M, elle est vraie si M=A, et elle s’écrit dans ce cas : .

Ce qui donne, puisque   , .

 

2. BARYCENTRE DE TROIS POINTS

 

a) Théorème et définition

 

A, B et C  sont deux points donnés, et  trois réels tels que

.

Alors il existe un point G et un seul tel que .

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés  .

 

b) Homogénéité du barycentre :

 

 Le barycentre de trois points pondérés reste inchangé si l’on multiplie les coefficients par un même nombre non nul.

En d’autres termes, si G est le barycentre de , alors G est aussi le barycentre de  pour tout réel k non nul.

 

c) Isobarycentre de deux points :

 

Lorsque  et , on dit que G est l’isobarycentre des points A, B et C .

d) Réduction de l’écriture  lorsque 

       

Théorème

 

Si G est le barycentre des points pondérés , alors pour tout point M, on a