TRANSFORMATIONS

 

I. GENERALITES :

Une application f de E vers F est bijective si quel que soit y de F, il existe un et un seul élément x de E tel que f(x) = y.

 

  Une transformation est une bijection du plan dans lui-même.

 

Les symétries, les homothéties de rapports non nuls, les rotations, et les translations sont des transformations du plan.

 

II. LES TRANSFORMATIONS USUELLES

1. Réflexions (ou symétries orthogonales)

 

La réflexion par rapport à une droite d associe :

            - à chaque point M n'appartenant pas à d, le point M' tel que d soit la  

       médiatrice du segment [MM'].

            - à chaque point M de d, le point M lui-même.

 

                        Par une réflexion :

o        l'image d'une droite est une droite;

o        l'image d'un segment est un segment de même longueur;

o        l'image d'un cercle C est un cercle de même rayon (et dont le centre est l'image du centre de C).

 

Les réflexions conservent le distance : si M' est l'image de M et N' l'image de N, alors M'N' = MN

 

 

I' est l'image de I, M' celle de M, la droite (AM') celle de la droite (AM). L'image du cercle c (de centre I) est le cercle c'( de centre I').

                                   

          

2. Translation

Une translation de vecteur  associe à tout point M du plan le point M' tel que .

Zone de Texte:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour tous points M et N d'images respectives M' et N', on a : .

MNN'M' est donc un parallélogramme.

 

Les translations conservent donc la distance.

 

 

Par une translation,

o                    l'image d'une droite (AB) est une droite parallèle à (AB)

o                    l'image d'un segment est un segment de même longueur

o                    l'image d'un cercle de centre O est un cercle de même rayon et de centre O', image de O par la translation

o                    l'image d'un triangle ABC est un triangle semblable à ABC

 

Zone de Texte:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Homothétie

Une homothétie de centre O et de rapport k ( où ) associe à tout point M le point M' tel que .

 

Pour tous points M et N d'image respective M' et N', on a

On en déduite que M'N' = |k|MN.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Par une homothétie de rapport k,

o             l'image d'une droite (AB) est une droite parallèle à (AB)

o             l'image d'un segment de longueur l est un segment de longueur |k|.

o             l'image d'un cercle de centre I et de rayon R est un cercle de rayon  |k|R et de centre I', image de I par l'homothétie

o             l'image d'un triangle ABC est un triangle semblable à ABC

 

 

 

Homothéties particulières :

-               Une homothétie de rapport 1 est             l'identité du plan

-               Une homothétie de centre O et de rapport  -1 est une symétrie

                     centrale, de centre O.

 

            Une homothétie de rapport différent de 1 ne conserve pas les distances

 

4. Rotation

Une rotation de centre O et d'angle  associe à tout point M le point M' tel que OM' = OM et .

Par une rotation d'angle

o             l'image d'une droite (AB) est une droite faisant un angle  avec (AB)

o             l'image d'un segment de longueur l est un segment de même         longueur

o             l'image d'un cercle de centre I de même rayon et de centre I', image      de I par l'homothétie

o             l'image d'un triangle ABC est un triangle semblable à ABC .

Zone de Texte:

 

Rotations particulières :

-               Une rotation d'angle 0 (ou ) est l'identité.

-               Une rotation de centre O d'angle est une homothétie de centre O et de rapport -1. C'est aussi une symétrie centrale de centre O.

 

Quelques propriétés :

-                     Si ABC est un triangle isocèle en A, alors C est l'image de B par une rotation.

-           Si ABC est un triangle isocèle et rectangle en A, alors C est l'image de B par la rotation de centre  A et d'angle .

-                     Si ABC est un triangle équilatéral, alors C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle .

 

 Les rotations conservent le distance : si M' est l'image de M et N' celle de N,   

  alors M'N' = MN

 

 

II. Composées de transformations usuelles.

1. Rappels

 Si f est une application de E vers F et g une application de F vers G, alors

 gof est l'application de E dans G qui, à tout élément x de E, associe  

  l'élément z de G tel que gof(x) = g[f(x)]

On associe d'abord à x son image y par f, puis à y son image z par g.

Zone de Texte:

2. Composée de deux translations

 

  Si  la translation de vecteur   et  la translation de vecteur .

Alors la composée de et est la translation de vecteur

Donc       

Zone de Texte:

3. Composée de deux homothéties de même centre

Une homothétie de centre O et rapport k se note en général h (O , k)

La composée d'une homothétie de centre O et rapport k1 et d'une homothétie de centre O et de rapport k2 est l'homothétie de centre O et de rapport k=k1.k2.

Ce qui s'écrit

 

4. Composée de deux rotations de même centre

Soit M1 l'image de M par la rotation de centre O et d'angle  et Ml'image de M1 par la rotation de centre O et d'angle

On a            et    

Zone de Texte:

On a donc

Théorème :

La composée de deux rotations  r1 et r2 de même centre O et d'angle respectifs  et  est la rotation de centre O et d'angle +

 

5. Composée de deux réflexions d'axes d et d'

            Soit d une droite. On va noter la réflexion d'axe d

a)           Si  d et d' sont parallèles.

     Notons M1 l'image de M par Sd, et M2 l'image de M1 par Sd'. M2 est donc    

     l'image de M par lacomposée Sd'o Sd de Sd'  et Sd.Le point M1, image de M par    

     la réflexion d'axe d est tel que et M2, image de M1 par la réflexion

     d'axe d' est tel que .

Zone de Texte:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      

 

 

 

En utilisant la relation de Chasles, on a   

      m étant le milieu de [MM1] et m' le milieu de  [M1M2], on a  

          

     Or ,

       D'où .

Théorème :

La composée de deux réflexion d'axes d et d' parallèles est la translation de vecteur  où A1 et A2 sont respectivement des points de d et d' avec (A1,A2) perpendiculaire à d.

 

b)           Si d et d’ sont sécantes d'intersection O

Soient A1 un point de d et A2 un point de d'. On reprend les notations précédentes .

Zone de Texte:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              - Si M est en O, il en est de même de M1 et de M2.

              - Supposons M distinct de O.

On a  OM = OM1 = OM2, et puisque (OA) est la médiatrice de [MM1], on a   

     

De même, puisque (OA2) est la médiatrice de [M1 M2],

     

Par la relation de Chasles pour les angles, on a :

                  

                                   

                                   

 

                        On a donc

 

Théorème :

 La composée de deux réflexion d'axes d et d' sécants en O est la rotation

 de centre O et d'angle   où A1 et A2 sont respectivement des   

  points de d et d'.

 

6. Composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre

      Soit r la rotation de centre O et d'angle et h l'homothétie de centre O et de rapport k. Si M1 est l'image d'un point M par r et M2 l'image de M1 par h, on a : .

Zone de Texte:

 

      Donc OM2 = k.OM et

 

      La composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre est appelée similitude plane directe. Le rapport de l'homothétie est le rapport de la similitude, l'angle de la rotation est l'angle de la similitude et le centre commun est le centre de la similitude.

       Donc si on note S la similitude de centre O, de rapport k et d'angle , et M' l'image de M par S, on a :

 

Plus généralement une similitude plane est la composée d'une homothétie

de rapport positif et d'une isométrie. Cette composition est commutative.

 

C'est une transformation qui multiplie les distances par un réel positif k, : il existe un réel k > 0, appelé rapport de la similitude, tel que si M et N sont deux points d'images respectives M' et N', alors M'N' = k.MN.

·                     Si la similitude conserve la mesure des angles orientés, on dit que c'est une similitude plane directe,

·                     Si la similitude transforme les angles orientés en leurs opposés, on dit que c'est une similitude plane indirecte.

 

 

III. APPLICATION RECIPROQUE

1. Rappel

 Si f est une application de E vers F bijective, alors elle admet une  

 réciproque, notée f-1, de F vers E, bijective, définie ainsi : si y= f(x) ,

 alors  x = f-1(y).

fof-1(y) = y pour tout y de F et f-1of(x) = x pour tout x de E

2. Réciproque d'une translation

Une translation de vecteur  associe à tout point M du plan le point M' tel que . Donc .Ainsi :

 

      Théorème :

    La réciproque d'une translation de vecteur  est la translation de

    vecteur

 

3. Réciproque d'une réflexion :

M' est l'image de M par la symétrie d'axe d si d est la médiatrice de [MM'].

Donc :

 

Théorème :

La réciproque d'une réflexion d'axe d est cette réflexion même

 

4. Réciproque d'une homothétie

Une homothétie de centre O et de rapport k non nul associe à tout point M' tel que . Donc . Ainsi :

    Théorème :

 La réciproque d'une homothétie de centre O et de rapport k non nul est l'homothétie de même centre O, et de rapport

5. Réciproque d'une rotation

Une rotation de centre O et d'angle  associe à tout point M le point M' tel que OM' = OM et , donc

Théorème :

La réciproque d'une rotation de centre O et d'angle  est la rotation de centre O et d'angle .  

 

 

 

 

IV- ISOMETRIES

   Lorsqu'une transformation conserve les distances, on dit que c'est une   

   isométrie.

   Une transformation f est donc une isométrie si pour tous points M et N

  d'images respectives M' et N' par f, on a M'N' =MN.

              

               Les translations, les symétries, les rotations et les homothéties de rapports 1    sont des isométries.

               Une homothétie de rapport différent de 1 n'est pas une isométrie.

           

 La composée de deux isométries est une isométrie.