GEOMETRIE ANALYTIQUE

 

Exercice 1 :

1°)       Tracer la droite  d’équation

2°)       Le point  appartient-il à  ? Et le point  ?

 

Exercice 2 :

            Préciser un vecteur directeur et, le cas échéant le coefficient directeur des droites suivantes :

            a)                                b)

            c)                                      d)

 

Exercice 3 :

            Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite passant par  et de vecteur directeur  :

            a)  et                                  b)  et

            c)  et                                       d)  et

 

Exercice 4 :

            Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite  :

            a)  et                                     b)  et

 

Exercice 5 :

            Soit       et        

1°)       Déterminer une équation cartésienne de la droite  parallèle à  et passant par

2°)       Déterminer une équation cartésienne de la droite  perpendiculaire à  et passant par


Exercice 6 :

            Soit ,  et  les points définis par :

                     ;                  et        

1°)       a) Déterminer les équations des médiatrices des segments  et

            b) Calculer les coordonnées du centre du cercle  circonscrit au triangle

            c) Calculer le rayon du cercle

2°)       On appelle  le point de coordonnées

            Vérifier que  appartient au cercle

3°)       On appelle  le projeté orthogonal de  sur la droite . Vérifier que les coordonnées de  sont

4°)       On appelle  le projeté orthogonal de  sur la droite  et  celui de  sur la droite

            a) Déterminer une équation de

            b) Calculer les coordonnées de

            c) Calculer les coordonnées de

5°)       Vérifier que ,  et  sont alignés.

 

Exercice 7 :

            On donne   et        

            Donner une équation de l’ensemble des points  tels que

 

Exercice 8 :

            Déterminer une équation du cercle  de centre  et de rayon  dans chaque cas :

            a)  et                                                b)  et

            c)  et                                d)  et

 

Exercice 9 :

            Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre  :

            a)  et                                     b)  et

            c)  et                                   d)  et


Exercice 10 :

            Parmi les équations suivantes, indiquer celles qui représentent des cercles. Déterminer alors le centre et le rayon.

            a)

b)

            c)

            d)

            e)

 

Exercice 11 :

            Donner une représentation paramétrique du cercle  pour les cercles suivants :

            a)

            b)

            c)

            d)

 

 

 DISTANCES

 

Exercice 12 :

1°)       Etude d’un exemple :

            On considère la droite  d’équation  et le point

            a) Tracer la droite  et placer le point

            b) Déterminer une équation de la droite  passant par  et perpendiculaire à

            c) Calculer les coordonnées du point , projeté orthogonal du point  sur

            d) En déduire la longueur  appelée distance du point  à la droite

2°)       Cas général :

            Soit  une droite de vecteur normal ,  un point de  et  un point quelconque du plan. On cherche à déterminer le distance du point  à la droite , c'est-à-dire la longueur   est le projeté orthogonal de  sur la droite

            a) Justifier l’égalité

            b) Montrer alors que la distance cherchée est donnée par l’égalité

            c) En supposant qu’une équation de  est , et que ,  et , montrer que l’expression analytique de la formule précédente est :

Exercice 13 :

            Déterminer la distance du point  et à la droite d’équation

 

Exercice 14 :

1°)       Dans le triangle  avec , et , déterminer la longueur de la hauteur issue de  puis l’aire du triangle.

2°)       Démontrer que le point  est le centre du cercle inscrit dans le triangle   et

 

Exercice 15 :

            Déterminer une équation du cercle  qui a pour centre  et est tangente à la droite  d’équation

 

PRODUIT SCALAIRE

 

Exercice 16

ABCD est un carré de côté a, de centre O et I est le milieu de [AB]. Calculer les produits scalaires suivants en fonction de a :

 

 

 

Exercice 17

 

ABC est un triangle équilatéral de côté a.

On note I le milieu de [AB].

Exprimer les produits scalaires  en fonction de a :