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1°C et D

mouvement d’un solide

 

Source :  Lydie Germain, Lycée Clémenceau de Reims http://fizik.chimie.lycee.free.fr

 

Objectifs :

-Savoir que le vecteur vitesse V est le même pour tous les points d’un solide en translation

-Savoir que chaque point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe a une trajectoire circulaire.

-Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, relier la vitesse d’un point à la vitesse angulaire

sur un enregistrement réalisé ou donné, déterminer et représenter le vecteur vitesse V d’un point mobile.

 

Étude du mouvement d’un point

 

Référentiels et repères

La description d’un mouvement dépend du référentiel dans lequel on se place ; le référentiel est le corps par rapport auquel le mouvement est étudié.

Un référentiel est constitué :

d’un solide de référence
d’un repère (système d’axes est lié au référentiel)
d’un repère de date.

 

Repérage d’un point

Déplacement d’un point dans un plan :

On choisit un repère (O, http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image002.gif?OpenElement&1203019890, http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image004.gif?OpenElement&1203019890) orthonormé. La position du point est alors déterminée par son abscisse x et son ordonnée y.

Déplacement d’un point dans l’espace :

On choisit un repère (O, http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image002.gif?OpenElement&1203019890, http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image004.gif?OpenElement&1203019890, http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image006.gif?OpenElement&1203019890) orthonormé. La position du point est alors déterminée par ses trois coordonnées x, y et z.

Repérage de temps

La date à laquelle un objet passe en une position est connue si l’on se donne un repère de temps.

Il faut donc fixer une origine des dates (instant pour lequel t = 0).

La date est un instant.

Une durée est un intervalle de temps séparant deux dates.

Dates et durées s’expriment en secondes dans le SI.

Trajectoire

La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du mouvement.

La trajectoire dépend du référentiel.

Solides

Un système matériel est un objet ou un groupe d’objet que l’on sépare arbitrairement de son environnement pour l’étudier.

Un système matériel est indéformable si la distance entre deux quelconques de ses points reste constante au cours du temps.

Un système matériel indéformable est appelé solide.

Un objet peut être assimilé à un point matériel si ses dimensions peuvent être considérées comme négligeables à l’échelle du problème que l’on veut résoudre.

 

Le centre d’inertie d’un solide

 

L’étude dans le référentiel terrestre de mouvements de solides montre qu’il existe, pour chaque solide un point dont le mouvement est plus simple. Ce point est le centre d’inertie du solide, noté G.

Le centre d’inertie est confondu au centre de gravité.

Pour un solide homogène, le centre d’inertie est le centre géométrique du solide.

Le centre d’inertie constitue le barycentre de tous les points du solide affecté de leurs masses. (Voir cours de maths et page 46 du livre de physique)

 

Vitesse d’un point

 

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image008.gif?OpenElement&1203019890 d’un point mobile est le quotient de la longueur L de son parcours par la durée http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image010.gif?OpenElement&1203019890 correspondante.

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image012.gif?OpenElement&1203019890

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image008.gif?OpenElement&1203019890 : vitesse moyenne en http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image014.gif?OpenElement&1203019890

L : distance en m

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image016.gif?OpenElement&1203019890 : durée du parcours en s.

La valeur de la vitesse moyenne dépend du référentiel d’étude.

 

Vitesse instantanée

La vitesse instantanée d’un point mobile à la date t est approximativement égale à la vitesse moyenne de ce point calculée entre deux instants voisins encadrant la date t.

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image018.gif?OpenElement&1203019890

On peut confondre la longueur de l’arc http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image025.gif?OpenElement&1203019890 avec celle du segment http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image025.gif?OpenElement&1203019890 si l’intervalle de temps est très petit.

 

 

Vecteur vitesse

 

A chaque instant, le mouvement d’un point a une direction, un sens et sa vitesse instantanée a une certaine valeur.

On définit donc un vecteur vitesse, noté http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image027.gif?OpenElement&1203019890.

A l’instant t, le vecteur vitesse http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image029.gif?OpenElement&1203019890d’un point mobile M a pour caractéristique :

            Direction : la tangente à la trajectoire à la date t

            Sens : celui du déplacement sur la trajectoire

            Valeur : valeur de la vitesse instantanée à la date t.

 

Représentation du vecteur vitesse :

Le vecteur vitesse à la date t est représenté par un segment fléché dont :

            L’origine est la position du point mobile à la date t

            Le sens celui du mouvement du point mobile

            La longueur est proportionnelle à la valeur de la vitesse V.

 

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image040.gif?OpenElement&1203019890 Décomposition du vecteur vitesse

Dans un repère http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image042.gif?OpenElement&1203019890 : http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image044.gif?OpenElement&1203019890

Suivant l’axe Ox : http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image046.gif?OpenElement&1203019890

 

Suivant l’axe Oy : http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image048.gif?OpenElement&1203019890

 

Détermination de la valeur de la vitesse a partir de http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image050.gif?OpenElement&1203019890 et http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image052.gif?OpenElement&1203019890 : http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image054.gif?OpenElement&1203019890

 

Vitesse et mouvement d’un solide

 

Solide en translation

 

Un solide est en  mouvement de translation si tout segment liant deux points du solide reste parallèle à lui-même au cours du mouvement.

 

Si tous les points du solide ont pour trajectoire une droite, on dit que le solide est animé d’un mouvement de translation rectiligne.

 

Si tous les points du solide ont pour trajectoire des courbes superposables, on dit que le solide est animé d’un mouvement de translation curviligne.

 

Si tous les points du solide ont pour trajectoire des cercles superposables, on dit que le solide est animé d’un mouvement de translation circulaire.

 

Tous les points d’un solide en translation ont, à chaque instant le même vecteur vitesse http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image029.gif?OpenElement&1203019890 : c’est le vecteur vitesse du solide.

Si la valeur du vecteur vitesse est constante, on dit que le solide est animé d’un mouvement uniforme.

 

Solide en rotation autour d’un axe fixe

 

Un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si :

            tous les points du solide situés sur l’axe de rotation sont immobiles
            tous les autres points du solide décrivent des arcs de cercle centrés sur l’axe de rotation.

Donc chaque point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe a une trajectoire circulaire.

 

Vitesse d’un solide en rotation

 

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image059.gif?OpenElement&1203019890Au cours d’une rotation, plus un point du solide est éloigné de l’axe de rotation, plus la longueur de l’arc qu’il décrit, est grande : les points du solide n’ont pas la même vitesse.

 

Par contre, l’angle a décrit entre deux instants donnés est le même pour tous les points du solide : c’est l’angle de rotation du solide.

 

On utilise donc la vitesse angulaire w qui est la même pour tous les points du solide en rotation et qui est donc la vitesse angulaire du solide en rotation.

Vitesse angulaire entre deux instants http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image061.gif?OpenElement&1203019890 et http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image063.gif?OpenElement&1203019890 est :

http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image065.gif?OpenElement&1203019890

Avec : w la vitesse angulaire en http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image067.gif?OpenElement&1203019890
           
a l’angle de rotation du solide en rad

            Dt la durée du parcours en s

 

Relation entre vitesse et vitesse angulaire :

 

Pour un point M d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, situé à une distance R de l’axe de rotation, la distance parcourue pendant une durée http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image016.gif?OpenElement&1203019890 est http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image069.gif?OpenElement&1203019890.

Donc http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image071.gif?OpenElement&1203019890 et comme http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image073.gif?OpenElement&1203019890 alors http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image075.gif?OpenElement&1203019890

 

Si Dt est grand, on a les vitesses moyennes, si Dt est petit on a les vitesses instantanées

 

Période et fréquence d’un mouvement de rotation uniforme :

 

Si le mouvement de rotation est uniforme (w est constante), le mouvement est périodique car la durée mise pour effectuer un tour est constante.

 

La période T d’un mouvement de rotation uniforme est égale à la durée d’un tour.

Si http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image077.gif?OpenElement&1203019890 (1 tr), alors http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image079.gif?OpenElement&1203019890 donc http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image081.gif?OpenElement&1203019890 et alors http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image083.gif?OpenElement&1203019890 avec T en s et w en http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image067.gif?OpenElement&1203019890.

 

La fréquence http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image085.gif?OpenElement&1203019890 d’un mouvement de rotation uniforme est le nombre de période par seconde donc le nombre de tour par seconde.

            http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image087.gif?OpenElement&1203019890 ce qui donne également http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image089.gif?OpenElement&1203019890 avec http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image085.gif?OpenElement&1203019890 en hertz (Hz).

 

On parle parfois de fréquence de rotation ou vitesse de rotation exprimée en http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image091.gif?OpenElement&1203019890 ou en http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image093.gif?OpenElement&1203019890 ce qui en réalité est une vitesse angulaire. (http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image095.gif?OpenElement&1203019890et http://192.168.0.128/LotusQuickr/accesmad/PageLibrary85256EA10035BD2D.nsf/h_Index/399EB3D600E8B651C125738B005D223F/$FILE/image097.gif?OpenElement&1203019890).

 

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