PROBABILITES

 

Introduction

 

Il existe deux manières d'introduire la notion de probabilité.

- La probabilité "subjective" d'un événement est un nombre qui caractérise la croyance que l'on a que cet événement est réalisé avec plus ou moins de certitude. Cette croyance peut atteindre deux extrêmes : certitude que l'événement est réalisé (probabilité 1) et certitude qu'il n'est pas réalisé (probabilité 0). La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

- La probabilité assimilée à une fréquence : on ne définit alors la probabilité qu'à partir d'expériences indéfiniment renouvelables. La probabilité d'un événement est la fréquence d'apparition de cet événement. C'est un nombre compris entre 0 et 1 ; 0 signifiant que l'événement n'apparaît jamais et 1 signifiant qu'il apparaît chaque fois qu'on renouvelle l'expérience.

Les deux positions esquissées ci-dessus donnent deux notions qui fonctionnent de la même manière.

 

1- Définitions

Une expérience est dite aléatoire lorsque le résultat est imprévisible.

Dans une expérience aléatoire :

- l'univers W = { e1 ; e2 ;...; en} est l'ensemble des cas possibles ou éventualités ou issues.

- un événement est une partie de l'univers W.

- un événement élémentaire est une partie à un élément.

- l'événement impossible est la partie vide Æ.

- W est l'événement certain.

Soit A et B deux événements de l'univers W.

- l'événement " A ou B" est l'événement A È B.

- l'événement " A et B" est l'événement A Ç B

- l'événement contraire de A est = CW A.

Exemple : on lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure.

 

2 - Probabilité

Définition

On définit une probabilité p sur W en associant à chaque élément ei de W un nombre réel positif p (ei) vérifiant :

1- chacun des nombre p (ei) est compris entre 0 et 1.

2- leur somme est égal à 1 : p(e1)+ p(e2)+...+ p(en)=1.

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités de toutes les éventualités appartenant à A.

 

Propriétés

- p(Æ) = 0,  p(W)=1.

 

- pour tous événements A et B d'un univers W : p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B).

 

- si A et B sont incompatibles (A Ç B = Æ), alors p(A È B) = p(A) + p(B).

 

- un événement A et son événement contraire  sont incompatibles, 

donc p() =1-p(A).

 

Cas d'équiprobabilité

·     Il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

 

Dans ce cas, si W un univers à n éléments : W = { e1 ; e2 ;...; en}. On a :

Or,

D'où, la probabilité d'un événement élémentaire ei est : .

·     La probabilité d'un événement A={ e1 ; e2 ;...; em} est :

D'où : .

 

·     Exemples d'équiprobabilité :

- lancers d'un dé normal non truqué.

- tirages dans une urne d'objet indiscernables .

- tirage au hasard dans un jeu de cartes.

Pour calculer p(A) il faut donc effectuer des dénombrements.