VARIABLE ALEATOIRE

1- Définition d’une variable aléatoire

Toute mesure d’une grandeur dont les valeurs dépendent du hasard est dite variable aléatoire ( en abrégé  "v.a."). C'est donc une application de l'univers des possibles W sur IR.

 

Exemple 1 : Une plante peut avoir 0 à 4 fleurs avec les probabilités suivantes :

 

Nombre de fleurs

0

1

2

3

4

probabilité

 

Le nombre de fleur est une variable aléatoire X, qui prend la valeur 0 avec la probabilité  , la valeur 1 avec la probabilité ,…

 

D'une autre manière, une variable aléatoire (ou aléa numérique) X définie sur W est une application qui à chaque élément de W fait correspondre un nombre réel.

 

L'ensemble des valeurs possibles de X, noté X(W) = { x1, x2, …, xn}, est appelé univers image de W.

 

2 - Loi de probabilité de X (ou distribution)

 

C'est la fonction qui à tout élément x de X(W) fait correspondre la probabilité que X prenne cette valeur x.

On la note x à p(X=x)

Il est commode de présenter cette loi de probabilité sous forme d'un tableau :

 

x

x1

x2

xn

p (X = x)

p1

p2

pn

Représentation graphique de l’exemple 1.

Zone de Texte:

3- Fonction de répartition

Dans le cas le l'exemple précédent, on peut se poser les questions suivantes :

Quelle est la probabilité pour qu'une plante à au moins 1 fleur ? au moins 2 fleurs ? etc.

La connaissance de la fonction de répartition permet de répondre à ces questions.

 

Définition

Soit une variable X définie sur un univers W muni d’une probabilité p.

La fonction de répartition F de X est la fonction définie pour tout réel x par :

F(x) = p (X £ x)

La fonction de répartition est encore appelée fonction cumulative ou probabilité intégrale.

 

Remarque : La fonction de répartition est définie par intervalle.

 

Reprenons le tableau de la loi de probabilité de l’exemple 1 et complétons-le par les valeurs de F(x)

 

 

Généralisation : Supposons que la v.a. X prend les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. La fonction de répartition est représentée par le tableau :

 

Zone de Texte:

Notons que dans l’intervalle [ xi ;xi+1 [ la probabilité de l’événement (X < xi) est :

p(X < xi) = p1 + p2 + … + pi-1.

 

Représentation graphique de F

 

 

Zone de Texte:

 

Propriétés de la fonction de répartition

- F est une fonction escalier

- F est une fonction croissante

- A partir de F on peut retrouver la loi de probabilité de X.

Exemple : p (X = 3) = F(3) – F(2).

 

 

4 - Espérance mathématique

 

Définition : Soit une v.a. X prenant les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. On appelle espérance mathématique de X le nombre E(X) défini par :

E(X) = x1 p1+ x2 p2+…+xnpn     où pi = p(X=xi).

 

Exemple : Reprenons l’exemple précédent.

E(x) = 0. + 1. + 2.+ 3.+ 4.= 2

On peut donc espérer en moyenne avoir une plante à 2 fleurs si on prend au hasard une plante.

 

 

5 –Variance  -  écart type

 

L’espérance mathématique donne une indication simple sur la v.a. Des v.a. très différentes peuvent avoir la même espérance mathématique.

Par exemple les deux v.a.  X et Y dont les lois de probabilité sont respectivement :

 

x

0

1

2

 

y

-1

0

1

2

3

p(X=x)

 

p(Y=y)

 

On vérifie que E(X)=    et  E(Y)=   . X et Y ont la même espérance mathématique, mais pour Y, on obtient plus souvent des résultats éloignés de . On dit que Y est plus dispersée que la variable X.

 

En Statistique, la dispersion se mesure par la variance qui est la moyenne pondérée de la série .

De façon analogue, en Probabilités, la variance est l’espérance mathématique de [ X – E (X)]2

 

La variance d’une variable aléatoire X est définie par :

 .

 

On utilise souvent l’écart type s (X) qui est la racine carrée de la variance.

L’écart type d’une v.a. X est défini par :.

 

Autre expression de la variance

On démontre que la variance d’une v.a. X est :

Exemple : calculer les variances et les écarts type des v.a. X et Y de l’exemple précédent.