Arithmétique



Durée : 20 heures

 

Objectifs généraux:  L'élève doit être capable de :

  • établir des propriétés élémentaires de nombre entiers;
  • résoudre des exercices et/ou des problèmes d'Arithmétique.

 

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L'élève doit être capable

de (d'):

 

 

·   déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne d'un entier relatif par un autre entier non nul

·      Division euclidienne dans N et dans Z

Définition:

 (a, b) Z x Z*,  ! (q,r)  Z x N tel que

a = bq + r  , 0 r< |b|

·        On donnera, comme pré requis, les notions suivantes:

Divisibilité dans N

-Signification de 'a divise b' ou

'b est multiple de a'.

 

·   utiliser la division euclidienne pour décomposer un nombre entier naturel dans une base b donnée (2b10) ; existence

et unicité admises)

 

·   passer de la numération décimale à la numération binaire et réciproquement

·      Numération décimale;

Numération binaire

 

- La relation "divise" est

une relation d'ordre;

- Si a|b et a|c, alors a|b+c

- L'ensemble des diviseurs de a est noté D(a) ou Da

 

·   connaître et utiliser:

- les propriétés de la relation "divise" dans N*

- les conditions nécessaires et suffisantes pour que

Da  Db ou aZ  bZ

- les propriétés du groupe

(aZ, +)

·   utiliser les congruences modulo n à la résolution de certaines exercices tels que:

- recherche du reste de la

division par n d'un entier

naturel donné

- établissement de critères de divisibilité

- détermination de la classe

modulo n d'un entier donné... .

 

·   Sous-groupes de Z et congruences:

 

 

- multiples et diviseurs

- sous-groupes additifs de Z

- congruences modulo n

Définition:

Propriétés vis à vis des opérations dans Z

Exemples d'utilisation.

 

- L'ensemble des diviseurs communs de a et b est D(a,b), c'est à dire que

D(a)D(b)=D(a, b)

 

 

Propriété

élémentaires:

- les propriétés faisant intervenir les opérations

+, x et la relation  sont

celles établies pour les nombres réels: comptabilité, simplification, ...

 

 

-entre deux entiers consécutifs a et (a +1), il n'y a pas d'autre entier.

 

·   effectuer des opérations dans Z/nZ

 

·   Anneau Z/nZ :

- définition

- opérations

- propriétés

 

Propriétés plus techniques:

-toute partie non vide de N admet un plus petit élément;

- toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément;

 

 

·   déterminer :

- le PPCM de deux ou de

plusieurs nombres

 

- le PGCD de deux nombres par l'Algorithme d'Euclide

 

·   résoudre des problèmes

utilisant:

- le théorème de Gauss

- certains propriétés du PPCM et/ou du PGCD

 

·      PPCM et PGCD

PPCM(a,b) = Min (aNbN)

PGCD (a,b) = Max (DaDb)

- propriétés élémentaires

- recherche du PGCD par l'Algorithme d'Euclide

- nombres premiers entre eux, Théorème de Gauss

 

-Théorème d'Archimède:

(aN) (bN*)

(nN) tel que (bn > a)

 

 

·  On donnera, sous forme

d'activité, le théorème de Bézout suivi de quelques exemples résolus de son utilisation.

 

·   démontrer que deux nombres

sont premiers entre eux

 

·   reconnaître si un nombre donné est premier ou non

·   décomposer un entier en naturel en produit de facteurs

premiers (existence et unicité de la décomposition admises)

·   trouver le PPCM et le PGCD de deux nombres en utilisant leur décomposition en produit de facteurs premiers

·   utiliser l'Arithmétique à la résolution d'une équation du premier degré dans Z x Z:

ax+by=c

 

·      Nombres premiers:

- définition

- propriétés élémentaires

- Z/pZ est un corps si, est seulement si, p est un nombre premier

- décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.

 

 

 

 

 

·      Quelques exemples de

résolution d'équations

du premier degré dans

ZxZ

 

·  Les notions de structures algébriques seront étudiées dans les cas précis de (Z, +), aZ, Z/nZ.

 

 

 

 

 

 

 

·  On ne fera pas de théorie générale sur la résolution, le mécanisme sera introduit à

travers des exercices

résolus.