Ensemble C des nombres complexes

 

Durée: 24 heures

 

Objectifs généraux:   L'élève doit être capable de (d') :

·   maîtriser les règles de calcul sur les nombres complexes;

·   utiliser les nombres complexes dans diverses activités:

- résolution d'équations du second degré;

- résolution de problèmes de géométrie;

- applications à la trigonométrie.

 

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L'élève doit être capable

de (d'):

 

 

·   effectuer toutes les opérations dans C

 

 

 

déterminer la partie réelle, la partie imaginaire, le conjugué d'un nombre complexe donné .

·      Bijection de R2 sur C:

- forme algébrique

- opérations dans C

- propriétés: l'ensemble C est

un corps

 

·  Une construction très détaillée de l'ensemble C n'est pas souhaitable ;

tout point M(a,b) du plan représente un complexe z=a+ib tel que le nombre i vérifie: i2=-1

 

·   connaître et utiliser la définition et les propriétés essentielles du conjugué d'un nombre complexe

 

·      Conjugué d'un nombre complexe:

- définition

- propriétés

- module d'un nombre complexe: |z|=

 

·  On montrera que:

- les opérations dans C prolongent celles dans R

- C est un corps (sans insister sur la notion de structure algébrique).

 

·  calculer le module d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique

·  utiliser dans les calculs les propriétés essentielles des modules de nombres complexes

·  rechercher des lieux géométriques à l'aide de nombres complexes

 

·      Interprétation géométrique d'un nombre complexe:

- image d'un nombre complexe

- affixe d'un point, d'un vecteur

- interprétation de la somme, du conjugué, du module

 

·  On mettra en valeur les idées qui ont conduit à l'introduction des nombres complexes et on

soulignera leur rôle en géométrie plane.

 

·  passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et réciproquement

·  déterminer le module et l'argument d'un nombre complexe

·  calculer le module et l'argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance

·  trouver les racines nième d'un nombre complexe (arcs solutions)

·  déterminer l'angle de deux vecteurs dont on connaît les affixes

·   Forme trigonométrique d'un nombre complexe:

- module et argument

- formule de Moivre

- racine n-ième d'un nombre complexe

- interprétation géométrique du produit et du quotient de deux nombres complexes.

 

 

 

Utilisation des nombres complexes

 

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L'élève doit être capable de (d'):

 

 

·  déterminer algébriquement les racines d'un nombre complexe donné sous la forme algébrique

·  résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels ou complexes

·     Equations du second degré dans C:

- résolution algébrique

- factorisation de polynômes

 

 

·  connaître et utiliser la notation exponentielle dans des calculs

 

·      Complément de trigonométrie:

- notation exponentielle d'un nombre complexe

·  La notation exponentielle sera utilisée indépendamment de l'étude complète de la fonction exp.

·   passer de la forme trigonométrique à la notation exponentielle

·   connaître et utiliser les formules d'Euler dans des problèmes de linéarisation de

polynômes trigonométriques

·   mettre en œuvre certaines techniques pour: transformer

a sin x + b cos x

·   résoudre des équations

·   du type:a sin x + b cos x=c

utiliser les formules de Moivre et d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques.

- formules d'Euler

- linéarisation de polynômes trigonométriques

- conversion de produits en sommes et de sommes en produits

- réduction de: asin x+bcos x

 

· Concernant les formules d'Euler et leurs utilisations, on ne devra, en aucun cas, faire aucune théorie mais on passera tout de suite à quelques exemples d'exercices permettant à l'élève de maîtriser la technique.

 

 

· Il sera hors de question de présenter des excès de technicité.