Fonctions numériques d'une variable réelle

 

Limites et continuité

 

Durée: 8 heures

 

Objectifs généraux:  L'élève doit être capable de :

·         connaître plusieurs techniques de calculs de limites et se familiariser avec leur utilisation;

·         connaître et utiliser quelques propriétés des fonctions continues sur un intervalle.

 

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L'élève doit être capable

de (d'):

 

 

·   calculer une limite sans utiliser des dérivées:

- limite en 0 et l'infini des fonctions de référence

- utilisation des théorèmes de comparaison

- utilisation des opérations sur les limites

- si une fonction est croissante

sur ] a, b [ (a< b) et si elle est majorée, alors elle admet une limite à gauche en b

 

   Méthode de recherche de limites

·      Opérations sur les limites

·      Limites de référence

·      Théorèmes de comparaison

·      Limite de la composée de deux fonctions

·      Limite d'une fonction monotone sur un intervalle ouvert ] a , b [

 

· Suivant le niveau de sa classe, on laissera au professeur le choix de démontrer ou non les théorèmes ou propriétés

contenus dans ce chapitre, hormis celui de la composée de deux fonctions qu'on admettra. On devra, par contre, proposer de nombreux exercices permettant à l'élève de se familiariser avec leur utilisation

dans la pratique.

·   justifier qu'une droite est asymptote à une courbe d'équation donnée

·   rechercher une direction asymptotique

·   rechercher une asymptote à une courbe d'équation donnée

·   étudier la position d'une

courbe par rapport à asymptote

 

      Etude de branches infinies d'une courbe

·      Direction asymptotique

·      Asymptote

·      Position de la courbe par rapport aux asymptotes

 

 

·   voir la continuité ou la non continuité d'une fonction à partir d'une représentation graphique

·   justifier qu'une fonction est continue sur un intervalle

·   trouver l'image d'un intervalle par une fonction à l'aide du tableau de variation de cette fonction

·   justifier à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires qu'une équation du type f(x)=0 admet au moins une solution sur un intervalle donné

·   connaître et utiliser quelques méthodes d'approximation des solutions d'une équation (dichotomie, encadrements

successifs)

·   tracer dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction réciproque d'une fonction bijective

·   prolonger une fonction par continuité lorsque c'est possible.

      Fonction continue sur un Intervalle

·      Définition

·      Opération sur les fonctions continues

·      Image d'un intervalle par une fonction continue; image d'un segment

·      Théorème des valeurs intermédiaires

·      Réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un

intervalle:

- théorème

- valeur approchée d'une solution d'une équation

- représentation graphique

 

 

 

 

 

 

 

·      Prolongement par continuité

 

·  On admettra que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle et que l'image d'un segment est un segment.

 

 

 

 

 

·  La continuité de la fonction réciproque sera également admise

 

On étudiera l'exemple de la fonction x  

où n  N- {0,1}

(fonction racine n-ième).