Fonction Exponentielle Népérienne

Fonction Puissance

 

Durée : 12 heures

 

Objectifs généraux :  L'élève doit être capable de (d') :

·     connaître la fonction exponentielle népérienne ainsi que ses propriétés essentielles;

·     utiliser ces propriétés à la résolution de certaines équations, inéquations, systèmes et à l'étude de fonctions construites avec la fonction exponentielle népérienne.

 

 

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L'élève doit être capable de (d'):

 

 

 

 

·   utiliser les propriétés algébriques de la fonction exp (par analogie avec les opérations sur les puissances)

 

·   étudier et représenter graphiquement la fonction xeX

·   calculer les quelques limites de référence et utiliser ces limites dans la recherche d'autres limites

   Exponentielle népérienne

·      Définition

Notation exp (x)=eX

·      Propriétés algébriques:

- exponentielle d'une somme

- exponentielle d'une différence

- exponentielle d'un produit

·      Limites de référence:

 ; 

·  La fonction exponentielle népérienne est définie comme étant la réciproque de la fonction logarithme népérien.

 

·  On justifiera pourquoi on a: exp (x)=eX .

 

·  On étudiera en détail, une fois pour toutes la fonction xeX avec les tangentes en (0;1) et (1; e) à sa courbe représentative.

 

   Fonctions construites avec la Fonction Exponentielle Népérienne

·      Fonction du type exp o u

·  On écrira: aX=eXln a

(du type exp 0 u) et on

étudiera les cas où

0 < a < 1 et a > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·   reconnaître des primitives de fonctions du type: u'eU et uau' et calculer ces primitives

 

 

·   connaître et utiliser les résultats relatifs aux  croissances comparées de ln x, xa et eX pour calculer d'autres limites

 

 

 

 

 

 

·   utiliser les fonctions exponentielles et puissances à la résolution d'équations, d'inéquations et de systèmes.

·      Fonction exponentielle de base a (a> 0)

 

·      Fonction du type: xa (a  R)

 (pZ; qN*),

f a  (aR)

uV=evlnu

 

      Primitives de Fonctions du type u'eU et ua.u' (aR)

 

 

   Croissance Comparée des Fonctions ln x, xa (aR) et eX

 ; 

 ;

 

   Applications des Fonctions Exponentielles et Puissances

·         Résolution d'équations,

d'inéquations et de

systèmes.

 

·  Les types de fonctions ci-contre seront à traiter sous formes d'activités, mises à part celles du type: exp o u et auxquelles l'élève devra se familiariser.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·  On proposera de nombreux exemples et exercices résolus pour apprendre à l'élève à utiliser les formules et à maîtriser les techniques.