Calcul Intégral

 

Durée: 8 heures

Objectifs généraux: L'élève doit être capable de:

·           calculer une intégrale;

·           connaître quelques utilisations des intégrales de fonctions:

- calcul d'aires, de volumes, de moments d'inertie;

- définition de nouvelles fonctions.

 

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

Objectifs spécifiques

L'élève doit être capable de (d'):

 

 

·   connaître la définition d'une

intégrale ainsi que ses propriétés élémentaires

·   interpréter graphiquement une intégrale

·   déterminer le signe d'une intégrale

 

·   utiliser la notion de valeur moyenne d'une fonction en sciences physiques (calcul de l'intensité efficace d'un courant alternatif; vitesse moyenne)

·   calculer la valeur moyenne d'une fonction et interpréter le résultat

   Intégrale d'une fonction continue

·      Définition

·      Propriétés de l'intégrale:

- relation de Chasles

- positivité

-linéarité par rapport aux fonctions

- inégalités de la moyenne, valeur moyenne d'une fonction.

 

·  On adoptera la définition suivante:

a et b appartiennent à I

et F étant une primitive de f sur I.

·  On fera le rapprochement entre inégalités de la moyenne et inégalités des accroissements finis.

 

·   calculer des intégrales:

- en utilisant les formules de

dérivation

- en effectuant une intégration par parties

- en effectuant un changement de variables affines

·   calculer une valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles

·   démontrer des inégalités à l'aide du calcul intégral

·   encadrer une intégrale;

·   calculer l'intégrale de

certaines fonctions rationnelles

et trigonométriques

   Quelques méthodes d'Intégration

·      Utilisation inverse de formules de dérivation

·      Intégration par parties

·      Intégration par changement de variables affines

·      Valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles avec majoration du reste

 

 

 

·  Concernant les activités sur l'intégration par parties, on insistera sur le fait que le choix initial des fonctions u et v' devra conduire à un calcul plus simple d'une nouvelle intégrale.

 

 

·  On entraînera l'élève à la bonne utilisation des notations différentielles dans une intégration par changement de variables.

·   étudier certaines fonctions définies par une intégrale

 

 

 

 

·   calculer l'aire de la partie du plan définie par axb) et 0yf(x) où f est une fonction continue et positive sur l'intervalle [a,b].

   Applications d Calcul intégral

·      Exemples d'étude de fonctions de la forme:

 où f n'a pas de

primitive explicitée;

·      Calculs de l'aire d'une portion de plan

·      Généralisation à une fonction continue de signe quelconque.

 

 

 

 

 

 

 

·  D'autres applications du calcul intégral telles que calcul d'aires, de volumes et de moments d'inertie seront à traiter sous forme d'activités

de recherche.