Ensemble C des nombres complexes

 

   Durée: 4 semaines   

   0bjectifs généraux: L'élève doit être capable de (d') :

l        maîtriser les calculs sur les nombres complexes;

l        faire le lien entre un nombre complexe et sa représentation géométrique;

l        utiliser les nombres complexes pour résoudre des problèmes (résolution d'équations du second degré; résolution de problème de géométrie; applications à la trigonométrie).

 

0bjectifs spécifiques                                   

Contenus

0bservations

 L'élève doit être capable de (d')

 

 

l        effectuer toutes les opération dans C

l        déterminer la partie réelle, la partie imaginaire, le conjugué d'un nombre complexe donné

 

 

 

 

 

l         connaître et utiliser la définition et les propriétés essentielles du conjugué d'un nombre complexe

 

 

 

l        calculer le module d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique

 

l        utiliser dans les calculs les propriétés essentielles du module d'un nombre complexe

 

 

l        déterminer l'ensemble des points M dont les affixes vérifient une condition donnée

 

l        passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique et réciproquement

l        calculer l'argument et le

l module d'un produit, d'un

l quotient et d'une puissance

l

l        trouver les racines  n-ième d'un nombre complexe (arcs solutions)

l

l        calculer l'angle de deux vecteurs dont on connaît les affixes

l        Forme algébrique

 

l        Somme, produit, quotient  de deux nombres complexes

l        Conjugué d'un nombre  complexe

Ø       définition et propriétés

Ø       module d'un nombre complexe

 

l        Interprétation géométrique

Ø       image d'un nombre complexe

Ø       affixe d’un point, d'un vecteur

 

 

Ø       interprétation de la somme, du conjugué, du module

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l        Forme trigonométrique:

Ø       module et argument

 

 

Ø       formule de Moivre

Ø

 

 

 

Ø       racine n-ième d'un nombre complexe

Ø

 

Ø       interprétation géométrique du produit, du quotient

On admettra l'existence d'un ensemble C contenant R et vérifiant:

 

 

Ø       C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R et  qui suivent les mêmes  règles de calcul;

 

Ø       il existe dans C un élément note i tel que i2= - 1;

Ø       tout élément de C s'écrit de manière unique sous la forme a+ib où a et b sont des réels.

 

Les éléments de C sont appelés des nombres complexes

 

 

l        Sans insister sur la structure de corps dans sa généralité, on montrera les propriétés qui confèrent à C la structure de corps.

 

l        On mettra en valeur les idées qui ont conduit à l'introduction des nombres complexes et on soulignera leur rôle en géométrie plane.

                       

 

Utilisations  des nombres complexes

 

0bjectifs spécifiques

Contenus

0bservations

L'élève doit être capable de (d'):

 

 

l        calculer algébriquement

l les racines carrées d'un

l nombre complexe donné

l sous sa forme algébrique

 

l        résoudre une équation du

lsecond degré à coefficients réels ou complexes

 

l        factoriser un polynôme à coefficients complexes ou réels

 

l        résoudre des exercices ou problèmes se ramenant à

l la résolution d'équations de type connu

l

 

l        utiliser la notation exponentielle d'un nombre complexe dans des calculs

 

 

l        passer de la forme trigonométrique à la notation exponentielle

 

l        utiliser les formules d'Euler aux problèmes de

llinéarisation de

lpolynômes trigonométriques

 

 

l        énoncer la définition

l géométrique d'une similitude plane directe

l        déterminer géométriquement l'image d'un point d'une figure, par une similitude plane directe

 

l        donner l'expression complexe d'une similitude plane directe définie par

l la donnée de son centre, de son rapport et de son angle

l

l        reconnaître une similitude plane directe par son

lexpression complexe et donner ses éléments géométriques

 

l        retrouver les expressions analytiques à partir de l'expression complexe et  réciproquement

l

l        Résolution d'équations du

lsecond degré dans C

 

 

 

 

 

 

 

 

l        factorisation des polynômes

 

 

 

 

 

 

 

 

l        Compléments de trigonométrie

Ø       notation exponentielle

Ø d'un nombre complexe

 

Ø       formules d'Euler

Ø

 

 

Ø       linéarisation de

·          polynômes trigonométriques

·

 

 

 

l        Similitudes planes directes:

Ø       définition

Ø       expressions complexes

 

 

 

 

 

Ø       étude des fonctions:

 

 

 

 

 

Ø       éléments géométriques

l        On multipliera les

l exercices d'application visant à mettre en œuvre les techniques fondamentales de résolution

ld'équations ou de

l linéarisation de

l polynômes trigonométriques.

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l        on définira une similitude (non réduite à une translation) comme produit commutatif d'une rotation et d'une homothétie de même centre.

 

 

 

l        On mettra l'accent sur le fait qu'une similitude plane directe peut se réduire

l à une translation; à une rotation ou à une homothétie de rapport positif, et  l'on fera dans  chaque cas le lien entre ces transformations et leurs expressions complexes.