Primitives de fonctions   -    Calcul d'intégrales

Durée:                      2,5semaines                                               

0bjectifs généraux: L'élève doit être capable de :

  • calculer une primitive de fonction' une intégrale;

l        connaître quelques utilisations simples des primitives et des intégrales

l

 Objectifs spécifiques

Contenus

0bservations

L'élève doit être capable de (d'):

l        vérifier qu'une fonction

l donnée est une Primitive

l d'une autre donnée sur un intervalle

l

l        déterminer les primitives d'une fonction à partir des formules de dérivation

l        connaissant une primitive d'une fonction f sur un intervalle I

-         écrire la forme générale des primitives de f sur I

-         déterminer la primitive de f qui prend une valeur donnée en un point donné

 

 

 

 

·        calculer des intégrales en utilisant les formules de dérivation (lecture inverse d'un tableau de dérivées)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·        calculer l'aire d'une portion du plan limitée par la courbe d'une fonction f, I'axe des abscisses et des droites d'équations respectives

  • calculer l'intégrale de certaines fonctions rationnelles et trigonométrique

 

  • calculer l'aire d'une portion du plan suivant le signe d'une fonction f sur un intervalle I donné (utilisation de la relation de Chasles sur des sous intervalles de I dont on devra préciser les bornes)

·        calculer I'aire d'une portion du plan limitée par deux courbes et deux droites parallèles à l'axe des ordonnées

 

·        calculer une intégrale en effectuant une intégration par parties

 

·        calculer une valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles

 

 

·        utiliser la notation différentielle dans un calcul d’intégrale

 

 

Primitives

l        définition

l        primitives de fonctions usuelles

 

l        Primitives de fonctions de types

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·        Définition et interprétation graphique de I'intégrale d'une fonction continue sur

·        Calcul d’aires

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·        Propriétés des intégrales:

-         relation de Chasles

 

 

 

-         linéarité

 

 

 

 

 

 

 

 

-         signe d'une intégrale

 

 

 

 

 

  • Calcul d'une intégrale:

-         Intégration par parties

 

-         calcul approché d'une intégrale

   

 

l        On admettra l'existence d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.

l

l        On proposera assez d'exemples et d'exercices visant à faire

l maîtriser les formules, par l'élève, et cela avant d'en pro  poser d'autres plus

l  complexes tels que  linéarisation de polynômes trigonométriques permettant ensuite une recherche plus facile d'une primitive,  décomposition de la  fonction proposée..,   etc.

 

  • On définira I'intégrale de f entre a et b de la manière suivante:

Si f est une fonction

continue sur un intervalle

I et si F est

une primitive de f

sur I, alors pour

tout a, b appartenant

à I on pose :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • L’intégration par changement de variable est hors programme.

 

 

  • On étudiera en exercices, sous forme de travaux pratiques la méthode des rectangles pour le calcul approché d'une intégrale

 

·        On devra insister sur le fait que le choix initial de u et de dv doit conduire à un calcul plus simple d'une nouvelle intégrale.